第4讲函数的奇偶性(学案)

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1、第四讲函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意X都有f(—x)=—f(x),则称f(x)为奇函数；如果对于函数/(X)定义域内的任意X都有f(—X)寸(X),则称f(x)为偶函数。如果函数/(X)不具有上述性质，则张)既不是奇函数也不是偶两数如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法(1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定/(—X)与/(X)的关系；③作出相应结论:若f(—X

2、)二f(x)或f(—X)—f(x)二0,则f(x)是偶函数；若或/(-x)+/(x)=0,则f(x)是奇函数。①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为遇函数，(3)简单性质：设/(%)，g(x)的定义域分别是D,,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇二奇，奇x奇二偶，偶+偶二偶，偶x偶二偶，奇x偶二奇二、基础练习：1.f

3、(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则f(x),g(x)均为偶函数,h(x)—定为偶函数吗?反Z是否成立？2.己知函数y二f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是①y=f(

4、x

5、)；②y二f(-x)；③y二x•f(x)；④y二f(x)+x.3.设函数若函数f(x)=(k-2)x2+伙-l)x+3是偶函数，则/(对的递减区间是4•已知y二f(x)是定义在R上的奇函数,当x20时,f(x)=x2-2x,则在x<0±f(x)的表达式为5.设f(X)是R上的偶函数,且在(0,+8)上是

6、减函数,若X：<0,且X】+X2>0,则f(xj与f(-X2)的大小关系是三、例题精讲：题型1:函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：①V9-X2—（兀2+兀（兀<°）r—.ix+4i+iA-3r®/w=U^so）④〃2冃口变式：设函数f(X)在(一8,+8)内有定义，下列函数：①「尸一If(x)

7、；®y=xf(x2)；③y=—f(—x)；④y=f(x)—f(—x)o必为奇函数的有(要求填写正确答案的序号)题型2：函数奇偶性的证明例2、已知函数f(x),当x,yeR时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证:f

8、(x)是奇函数;变式：已知f(x)+1)_2是奇两数，则实数a的值等于2X+1题型3：函数奇偶性的应用例3.设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(l-m)

9、上是增函数，若/(^)

10、(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=变式：已知函数f(x)=g(x)+2,xe[-3,3],且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N二.例6.已知两数/(兀)=匚工为奇函数，/⑴vf(3),且不等式0

11、对一切OwR成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。例7.已知张)是定义在[-1,1]上的奇函数

12、,且f⑴二1,若°力丘[-1,1]卫+bH0时,有仏)+Wo.a+b(1)判断函数几0在[—1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：几兀+：)勺(亠)；2x-1(3)若几r)W加2一2卩加+i对所有xw[-1,1],pQ[-1,1]9是常数)恒成立,求实数加的取值范围.能力训练题1•判断下列函数的奇偶性：3_.2(3)f(x)=x2+l(x卜10,10))；(1)f(x)=-———；(2)/(x)=Jx_+y/l-x:x-12•函数f(x),g(x)在区间［-a,a］(a>0)上都是奇函数，则下

13、列结论:①f(x)-g(x)在［-a.a］上是奇函数;②f(x)+g(x)在［-a.a］上是奇函数;®f(x)•g(x)在［-a.a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是3.已知函数f(x)(xwR)是奇函数，且兀时，/(兀)=贝IJ兀<0时/0)=4•设/(X)是定义在R上的一个函数，则函数FM=