最短路径问题（1）

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1、797fb185ca161a9bbc936a695ba27b1a.doc先学后教师生合作训练拓展八年级上学期数学教学案（1课时）课题：最短路径问题（1）班级：设计人：审核人：学习目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用。3、感悟转化思想。学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。学习难点：体会利用作图解决最短路径问题。教学流程：学生活动教师活动一、自主预习①②③1.如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？B¡¤

2、¡¤All2.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？问题2如图，点A，B在直线l的

3、同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？智慧引领知识链接可抽象为：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B“三自一引”教学模式自主预习——自信展示——自我提高——智慧引领-3-797fb185ca161a9bbc936a695ba27b1a.doc先学后教师生合作训练拓展追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件

4、的点B′吗？问题3如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：(1)________________；(2)_____________________。问题4你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B¡¤lA¡¤C追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小。追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过

5、程、借助什么解决问题的？连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小（如图）．二、合作互学，交流展示1.生展示“自主预习”部分内容。2.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小。作法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.三、检测固学如图，小河边有两个村庄

6、A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？能力提高“三自一引”教学模式自主预习——自信展示——自我提高——智慧引领-3-797fb185ca161a9bbc936a695ba27b1a.doc先学后教师生合作训练拓展“三自一引”教学模式自主预习——自信展示——自我提高——智慧引领-3-