13.4 最短路径问题（1）

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1、教学设计：13.4课题学习最短路径问题(一)（鹿马中学巨周凯）教学目标：1.能够运用轴对称的知识解决“将军饮马问题”。2.能够将实际问题转化为数学问题,掌握确定最短路径的方法,建立“将军饮马问题”数学模型。3.通过“观察—操作—探究”过程,让感受数学在实际生活中的应用,提高学生学习数学的兴趣,体会建模的思想。学情分析：1.学生已经学习了的轴对称的相关知识,掌握了轴对称的性质,会用尺规作点关于某直线的对称点。2.在初一学习了公理：两点之间线段最短。3.学生具备了一定的分析问题的能力，学会了将未知问题转化为已知知识领域内问题

2、的办法。重点难点：重点:运用轴对称知识找出问题中的最短路径,并能建立“将军饮马问题”的数学模型。难点:1.确定具体问题中最短路径的作图方法2.证明作法的合理性。教学过程：一．引入新知活动一：古从军行(唐.李颀)白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲桃入汉家。师生活动：教师和同学一起读古诗，教师指明此诗中隐藏着一个著名的数学问题，吸引学生的注意力。著名的数学问题：相传，古希腊亚历山

3、大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”.活动二：复习回顾两个结论：1.两点的所有连线中，线段最短.2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.师生活动：教师带领学生复习初一学习过的两个有关“最短”的结论。二．探索新知问题1：你能将这个实际问题抽象为数学问题

4、吗？BAl追问1：　这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生尝试回答，教师补充。将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al追问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把BAlC这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时

5、，AC与CB的和最小（如图）．师生活动：学生互相交流，教师适时点拨，最后达成以上3个共识。问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·师生活动：教师通过引导让学生学会把未知问题转化为已知的知识领域内的问题来处理。追问1：　当点A,点B分别位于直线l的两侧时,能否在l上找到一点C,使得AC与CB的和最小?B·lA·师生活动：学生通过思考交流，相互补充。追问2：　如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？

6、师生活动：学生通过交流讨论，教师进行点拨，C点必须在线段BB′的垂直平分线上。追问3:　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？师生活动：学生通过交流讨论,联想到轴对称的知识，点B，B′关于直线l对称。追问4:如何作图?　　作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．师生活动：学生通过尺规作图，独立完成。学生上台展示。B·lA·B′C问题3：　你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？师生活动：师生共同分析，然后教师说明证明过程，最后板书：　证明：如图，在直

7、线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴　AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．B·lA·B′CC′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．　　即　AC+BC最短．追问1：　证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？师生活动：学生交流，教师点拨。若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距

8、离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．追问2：　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充。让学生体会轴对称的桥梁作用。三．运用新知　　例1　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．A