13.4 路径最短问题

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1、课题学习13.4路径最短问题湖北省应城实中赵元海【教学设计】1.知识目标:（1）两点在直线的两侧时，会在直线上找到最短路径的点；（2）“直线有宽度”时，会找到建桥的位置；(3)两点在直线的同侧时，会利用轴对称在直线上找到最短路径的点.（4）一个点在锐角或直角的内部时，能在角的两边上找到最短路径的点.2.情感目标：通过本节的课题学习，引导学生理论联系实际，让学生感受到“数学不是空洞的”，它无时无刻伴随着我们的生活和工作.学好数学既可以丰富我们的生活，将来在建设祖国的工作中还可以发挥具大的经济效益，节约成本，增加收益，创造财富，体现人生的价值.【思维方法】不论是作对称

2、点还是建桥，都是充分体现了“化归思想”，化未知转为已知，化复杂为简单.【教学重点】（1）利用“两点之间，线段最短.”和“轴对称.”在直线上找到最短路径的点；（2）在实际建桥设计中，在河岸上准确找到合适的建桥位置.【教学难点】（1）两点在直线的同旁时，怎样在直线上找到最短路径的点；（2）当河流有宽度时，怎样在河岸上找到建桥的位置.【教学准备】用《几何画板》制成完整的教学过程.413.4路径最短问题活动一：通过学生课堂自学，完成知识准备.1.知识准备：（1）两点之间，线段最短；（2）轴对称.2.引例：(1)如图1，平面上是否存在一点M,使MC+MD最小？(2)如图2，

3、直线AB在C、D之间，在直线AB上是否存在P,使PC+PD最小？活动二：在老师的引导下，解决两个问题.问题1：如图3，两点C、D在直线AB的同一旁，在直线AB上是否存在一点P，使PC+PD最小？问题2：如图4，A、B两村庄被一条河的两岸隔开，现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸平行，桥与河岸垂直)活动三：巩固提高.例1.如图，小马在P点，先到山坡OA吃草，再到河边OB喝水，最后回到P点睡觉.请在OA，OB上分别找到M、N两点，使△PMN的周长最小.4练习：1.如图，正方形ABCD的边长为6cm,△ABE是等边三角形，点E

4、在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为()cm.A5B6C8D12活动四：归纳小结.1.知识归纳：（1）两点一线：两点分别在直线的异侧，连线和最小；有河宽，先合拢，再推开；两点在直线的同侧，作对称点，连线和最小.（2）一点两线：分别向两边作对称点，连线和最小.2.方法归纳：既要学会添加辅助线解决问题，也要学会擦去多余的图形，保留种子模型.作业：1.如图1，甲乙两个村庄在河岸的同侧，现在两个村庄商议，在河岸上共同修建一个水泵站，问水泵站建在何处，可使铺设的水管最短？2.如图2，A、B两村庄之间有两条平行河ab，cd,现要在两

5、条河上各修一座桥,桥修在何处可使从A到B的路径最短？(假设河的两岸平行，桥与河岸垂直)4平测练习1.如图1，作出点A关于直线m的对称点A’.2.如图2，A、B在直线m的两侧，在直线m上找一点P，使PA+PB最小.3.如图3，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A130°B120°C110°D100°图3图44.如图4，A、B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使△PAB的周长最小.5.如图5，在一条河的两岸有两个村庄A、B，现要在河上建一座与河岸垂直的桥，

6、假设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A到B的路程最短？只要画出图形.6.如图6，∠AOB=30°，点P为∠AOB内的一点，OP=10,点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.图5图64