《最短路径问题》同步练习1

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1、《最短路径问题》同步练习1专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1.如图在AABC中，BF、CF是角平分线，DE〃BC,分别交AB、AC于点D、E,DE经过点F.结论：①ABDF和ACEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③AADE的周长=AB+AC；@BF=CF.其中正确的是.(填序号)2.女口图，在ZSABC中，AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF,AD+EC=AB.(1)求证：ADEF是等腰三角形；⑵当ZA=40°时，求ZDEF的度数；(3)ADEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？(4)请你猜想：当ZA为多少度时，ZEDF+ZEFD=120°

2、,并请说明理由.3.如图，已知AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BE是ZABC的平分线，DE丄BC,乖足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；⑵请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由.(3)如果BC=10,求AB+AE的长.专题二等边三角形的性质和判定1.如图，在等边AABC屮，AC=9,点O在AC上，且AO=3,点P是AB上一动点，连接0P,以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果POPD,那么AP的长是,C2.如图.在等边AABC中，ZABC与ZACB的平分线相交于点0,且0D〃AB,0E〃AC.(1)试判定A0DE的形状，并说明你的理由；(2)

3、线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.3.如图，AABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同吋停止运动.(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动儿秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时M、N运动的时间.专题三最短路径问题4.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道.现要在这两

4、根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢人楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中，点A，是点A关于直线b的对称点，A，B分别交b、a于点C、D；点B，是点B关于直线a的对称点，BA分别交b、a于点E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（A.F和C1.如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给人、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？（保留作图痕迹及简要说明）参考答案：1.①②③解析：・.・DE〃BC,・*.ZDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB.TBF是ZABC的平分线，

5、CF是ZACB的平分线，・ZFBC=ZDBF,ZFCE=ZFCB・・ZDBF=ZDFB,ZEFC=ZECF,・••△DFB,AFEC都是等腰三角形.ADF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC.AAADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.综上所述，命题①②③正确.2.解：(1)证明：VAD+EC=AB,・・.BD=CE.VAB=AC,・ZB=ZC.VBE=CF,・ABDE^ACEF.・・・DE=EF,即ADEF是等腰三角形.(1)VZA=40°,・•・ZB=ZC=丄(180°-ZA)=-(180°-40°)=70°.22・ZAB

6、DE^ACEF,・ZBDE=ZCEF.AZDEF=180°-ZBED-ZCEF=180°-ZBED-ZBDE=ZB=70°.(2)不能.・・・ZDEF=ZBH90°,AADEF不可能是等腰直角三角形.(3)60°.理由：当ZA=60°时，ZB=ZC=60°,由⑵可得ZDEF=60°・.•.ZEDF+ZEFD=120°.1.解：(l)AABC,aABD,AADE,aEDC.(1)AD与BE垂直.证明：TBE为ZABC的平分线，・*.ZABE=ZDBE.XVZBAE=ZBDE=90°,BE=BE,・"•△ABE沿BE折叠，一定与ZkDBE重合.・・・A、D是对称点.AAD丄BE.

7、(2)TBE是ZABC的平分线，DE丄BC,EA丄AB,・・・AE=DE.在RtzABE和R3BE中，AE=DE,BE=BE,・・・RtAABE^RtADBE(HL).AAB=BD.又aABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,.*.ZC=45°.又TED丄BC,•••△DCE为等腰直角三角形.ADE=DC.即AB+AE=BD+DC=BC=10.2.6解析：连接OD,TPOPD,AOP=DP=OD.ZDPO=60°.VAABC是等边三角形，・・・ZA二ZB=60。,AC=AB=9・•/ZO