最短路径问题

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1、最短路径问题姓名类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：1.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。例1、如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求。说明：∵连接A、B两点的线中，线段最短。∴连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小=AB2.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。例2、如图，在

2、直线上求一点P，使PA+PB值最小．作法：①作点A关于直线的对称点A’；②连接A’B，交直线l于点P，点P即为所求。说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线，∴PA=PA’，∵两点之间，线段最短。∴此时PA+PB最小=PA’+PB=AB。类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。例3、在直线上求一点P，使的值最大．作法：连接AB，并延长交直线于点P，点P即为所求。证明：在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，∴；而连接AB，

3、并延长交直线于点P，此时，2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。例4、如图，在直线上求一点P，使的值最大．作法：①作点B关于直线的对称点B’，②连接AB’，并延长交直线于点P，点P即为所求。说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线∴PA=PA’，若在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，∴∴此时总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三

4、点共线找交点”。类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。4例5、如图，在直线上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线的另一侧），再根据“两点之间，线段最短”，连接点P的两个对称点，与直线的交点即为所求。作法：①分别作点P关于直线的对称点;说明：连接MP、NP，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，∵点P和点P2关于直线对称，∴直线是PP2的垂直平分线，∴NP=NP2，∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN

5、+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。例1、在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN周长最小.方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线的另一侧），一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”，连接点P、Q的对称点，与直线的交点即为所求。作法：①作点Q关于直线的对称点;②作点P关于直线的对称点；说明：连接MP、NQ，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，∵点Q和点Q1关于直线对称，∴直线是QQ1的垂直

6、平分线，∴NQ=NQ1，∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地放羊，然后赶到小河饮水，之后再回到B处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。4类型五、架桥修路距离最短的问题1、两条平行线之间的距离为d，直线外有异侧两定点A、B，在上分别有两个动点M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。作法：①从点A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：将点A向下平移d个单位长度至点A’）②连接A’B，交直线n于点N，③作NM⊥m于M，M、N即为所求

7、。说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，四边形AA’NM是平行四边形，AM=A’N，，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。例1、如图，从A地到B地经过一条小河（两岸平行），今要在河上建一座桥（桥与河岸垂直），应如何选择桥的位置才能使A到B的路程最短?例2、荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？2、一条直线a上有两个动点M、N（点M在N的左边），