数形结合在不等式中的应用杜欣

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1、数形结合———解与不等式有关的问题清华中学数学组杜欣一、教学内容分析：在数学发展的进程中,形和数常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定的条件下互相转化，故而数形结合是我们在解题应用中常用的数学思想方法。数形结合思想是解答数学问题的一种常用方法与技巧，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体。数形结合的思想方法将抽象的代数问题给以形象化的原型，训练人们思维形象化的思维品质；将复杂

2、的代数问题赋予灵活变通的形式，从而给人们思维灵活性的思维迁移训练，这正是反映了数形结合的思维方法解决数形之间问题的有效途径所在。不等式揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系。用数形结合解决不等式问题的优越性在于将图形性质的问题转化为数量关系的问题或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的方案。本节为高三的一节复习课，学生在之前的学习中已经能够基本掌握高中数学知识的结构框架，数学思想方法也在日常的教学中多有渗透，然而学生对于如何正确运用数学思想方法学习数学或解题还有诸多疑惑。本节课将从不等

3、式的解法、不等式的证明以及关于最值问题等知识进行比较归类，分析探讨数形结合在不等式中的应用，旨在教学中使学生能够领悟数学思想方法的妙用，纳入到自己的知识结构中去，变成自己的财富。二、三维目标：1、10通过本节教学旨在使学生理解用数形结合的思想方法解决不等式及求参数的取值范围使不等成立的问题。2、在用数形结合的思想方法解题过程中，通过研究不等式的基础理论、解不等式、和不等式的应用等问题，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决题的能力。3、在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及创新意识，通过领悟数形结合在不等式中的应用，从而发展

4、出数形结合在其他知识点中的广泛应用。二、教学重点：解不等式,就是要对不等式进行同解变形,使之变为与原不等式同解的最简不等式。不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求，结合图形研究,可以避免复杂的讨论,化繁为简。三、教学难点：用数形结合的思想解决不等式相关问题虽然可以化繁为简，但是在实际应用时学生很难找到切入点，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在教学中通过实例讲解以及联系使得学生能够应用数形结合的方法解决不等式的相关问题。五、课时安排：1课时六、典例解析：类型一：解不

5、等式得x的取值范围：例1（2013.江西文.6）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（　　　　）Ａ　　　　　Ｂ　　　Ｃ　　　　　Ｄ选题立意：作为第一道例题，本题的解决方式并不唯一，先让学生自行解决，学生不难想到用特值法，代数法以及数形结合的方法。让学生对比以后显然特值较快，其次数形，最后才是代数。让学生比较自然的觉得数形的可取之处。审题破题：10若用一般的代数法解此不等式，既要分类还要分步，显得步骤繁琐。观察所给不等式，都是由基础函数组成，图像是熟悉的，故而可联想通过作图的方法得到未知数取值范围。特别地，需提醒学生在作草图的过程中不应忽略对特殊点的描

6、绘。解：由基本初等函数的图像分析之，若要满足此不等式，只需满足即可，故而选A。变式训练1：用表示三个数中的最小值，设，则的最大值为（）答案　6选题立意：相比例题此变式训练不能用特值法，故而数形结合成了解此题的最佳方法，学生稍加提醒便能想到此法，并能进一步感受数形结合带来的方便与直接。审题破题：　画出，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当24时，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4时取得，为6.例2：（2010年新课标全国卷8）设偶函数满足，则的解集为（）选

7、题立意：此题相较例1加入了一些函数的性质，也是需要熟悉函数的一些基本性质：单调性，奇偶性，周期性等，还要理解函数的一些平移变化规则，是对数形结合的另一重考察。审题破题：考题依旧是给了一个初等函数的平移形式，只需作图得的解集，在此基础上将解集中的替换成，解得答案B。10变式训练1：已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0

8、帮助。审题破题：根据对称性画出f(x)在(－3，0)上的图象如图，结合y＝cosx在(－3,0