分类讨论思想（高一选修课用）

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1、高一数学选修课数学思维之——分类讨论思想【学情分析】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值

2、a

3、的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了

4、分类；（2）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。（3）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准

5、进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参

6、法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。【考点例析】集合中分类讨论问题例1．（2012高考真题全国卷理2）已知集合A＝{1.3.}，B＝{1，m},AB＝A,则m=（）A0或B0或3C1或D1或3解析：B；因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论

7、思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。例2．（2012高考真题新课标理1）已知集合；则中所含元素的个数为（）解析：D；要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D点评：把握含参数问题参数的分类标准最为关键，像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。练习1：对任意两个正整数m，n定义某种运算⊕：m⊕n＝，则集合P＝{(a，b)

8、a⊕b＝20，a，b∈N*}中元素的个数为(　　)A．21B．22C．23D．24解析：由题知，若a，b的奇偶性相同有(1,19)，(2,18)，(3,17)，(4,16)，(5

9、,15)，(6,14)，(7,13)，(8,12)，(9,11)，(10,10)，交换顺序可得(a，b)的个数为20个，其中(10,10)交换后重复，故为19个；若a，b的奇偶性不相同，则有(1,20)，(4,5)，交换顺序得(a，b)的个数为4个，故集合P中元素的个数为23个．答案：C练习2：已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}且M＝N，求a，b的值．解：由题意知，或⇒或或根据元素的互异性得或即为所求．练习3：设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.解：（1）由题意知：，，.①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（

10、2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．（3）由，则．函数、方程中分类讨论问题例3．（2012高考真题四川理5）函数的图象可能是（）解析：D；当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确；D正确.点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。例4：设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小