分类讨论思想

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1、第3讲分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度.2.分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，

2、在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.（3）由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.（6）由实际意义

3、引起的讨论：此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则（1）不重不漏.（2）标准要统一，层次要分明.（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论.（2）对所讨论的对象进行合理的分类.（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决.（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.一、根据数学的概念，分类讨论例1设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较

4、loga(1-x)

5、与

6、loga(1+x)

7、的大小.思维启迪先

8、利用0＜x＜1确定1-x与1+x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小.解∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1,1+x＞1,0＜1-x2＜1.①当0＜a＜1时，loga(1-x)＞0，loga(1+x)＜0,所以

9、loga(1-x)

10、-

11、loga(1+x)

12、=loga(1-x)-［-loga(1+x)］=loga(1-x2)＞0;②当a>1时，loga(1-x)＜0,loga(1+x)＞0,所以

13、loga(1-x)

14、-

15、loga(1+x)

16、=-loga(1-x)-loga(1+x)=-

17、loga(1-x2)>0.由①②可知，

18、loga(1-x)

19、>

20、loga(1+x)

21、.探究提高本题是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论.由概念内涵分类的还有很多,如绝对值：

22、a

23、的定义分a＞0、a=0、a＜0三种情况；直线的斜率`：倾斜角≠90°,斜率k存在;倾斜角=90°，斜率不存在；指数、对数函数：y=ax(a＞0且a≠1)与y=logax(a＞0且a≠1)，可分为a＞1,0＜a＜1两种类型；直线的截距式：直线过原点时为y=kx,不过原点时为变式训练1已知数列{an}的前n项和为Sn=32n-n2，求数列{

24、an

25、}的前n

26、项和Pn.解由Sn=32n-n2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=32n-n2-32（n-1）+(n-1)2=33-2n；当n=1时，a1=S1=31,∴an=33-2n（n∈N*）.令an≥0，则33-2n≥0,n≤16.5,因为n∈N*,所以n≤16时，an＞0;n≥17时，an<0,所以本题Pn的求值问题应分两种情况讨论.当n≤16时，Pn=

27、a1

28、+

29、a2

30、+…+

31、an

32、=a1+a2+a3+…+an=Sn=32n-n2.当n≥17时，Pn=

33、a1

34、+

35、a2

36、+…+

37、a16

38、+

39、a17

40、+…+

41、a

42、n

43、=a1+a2+…+a16-a17-a18-…-an=（-a1-a2-…-a16-a17-a18-…-an）+2（a1+a2+…+a16）=-Sn+2（a1+a2+…+a16）=-Sn+2S16.因为S16=32×16-162=16×16=256，Sn=32n-n2，所以Pn=512-32n+n2.∴数列{

44、an

45、}的前n项和二、根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0（n=1，2，3，…）.（1）求q的取值范围；（2）设记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.

46、思维启迪（1）根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论.（2）能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小.解（1）∵{an}是等比数列，Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0,当q=1时，Sn=na1>0;当q≠1时，即上式等价于或②解