用分类讨论思想找满足条件的点

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1、用分类思想探求“满足条件的点”探求满足某些已知条件的点的坐标是中考数学的常见题型。这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高．学生在求解这类问题时，会出现漏解、错解，甚至会无从下手等现象。为了帮助同学们掌握这一题型的特征与解法，本文筛选了几例2010年的中考试题，对其类型与解法予以剖析，供参考。1、等腰三角形中，因腰和底不确定需分类讨论已知线段AB，在平面内取一点P，使△PAB为等腰三角形 探究方法： ①如果AB为底边，则作AB的中垂线（如图1），点P一定在中垂线上。 ②如果AB为腰，且∠A为顶角，则要以A

2、为圆心，AB长为半径画圆（如图2），点P一定在这个圆上。③如果AB为腰，且∠B为顶角，则要以B为圆心，AB长为半径画圆（如图3），点P一定在这个圆上。图3图2图1图4图5图6图7例1．如图4，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是分析与解：解决此类问题的一般方法是先分类，后画图，再计算。①若OA为腰，且∠O为顶角，以O为圆心，OA长为半径画圆(如图5)，计算可得成本；②若OA为腰，且∠A为顶角，则要以A为圆心，AB长为半径画圆（如图6），计算可得；

3、③若OA为底边，则作OA的中垂线（如图7），计算可得，图8故所有满足条件的点P的坐标为，，，例2．如图8，点、、在上，且.若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析与解：本题可以采用先分类，后画图的方法求解(如图9)①若AB为腰，且∠A为顶角，则以A为圆心，AB长为半径画⊙A，与相交于②若AB为腰，且∠B为顶角，则以B为圆心，BA长为半径画⊙B，与相交于③若AB为底边，则作AB的中垂线，与相交于∴所有符合条件的点有4个，故选D图10图11图122、直角三角形中，因直角边和斜边不确定需分类讨论已知线段AB，在平面内取一点P

4、，使△PAB为直角三角形 探究方法： ①如果已知边AB为斜边，则要以AB为直径画圆（如图10），点P一定在这个圆上。②如果已知边AB为直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线（如图11），点P一定在这条垂线上。③如果已知边AB为直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线（如图12），点P一定在这条垂线上。例3.在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为分析与解：解决此类试题的方法是先分类，后画图，再计算。①若点C为直角顶点，则以AB长为直径画圆，与y轴相交于（如图15），计算可得,，②若点B

5、为直角顶点，则过点B作垂线，与y轴相交于（如图16），计算可得③若点A为直角顶点，则过点A作垂线，与y轴相交于（如图17），计算可得所以满足条件的C点的坐标为,，，图17图16图15例4.如图18，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该图18抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点

6、F的坐标；若不存在，请说明理由．分析：第（1）问可先设成顶点式，再把C点坐标代入，求得函数解析式，第（2）问渗透分类讨论思想，由于直角边和斜边的不确定，分类讨论围绕直角顶点展开，当点P为直角顶点时，因为PD∥，所以当P运动到B点时，△ADP为直角三角形；当点P为直角顶点时，通过计算A点坐标，可知△AOC是一个等腰直角三角形，故∠OAC=45°，又因为PD∥，所以P、D关于X轴对称，抓住两点纵坐标互为相反数即可求解。第（3）问是探究性问题，是在（2）的情景下探究以A、P、E、F为顶点的平行四边形，由于（2）中满足条件的点P有两个，故又要涉及分类讨论，①当P1(1,0)时，A

7、、P、E三点在x轴上，不能构成平行四边形；②当P2(2,-1)时，因F要在抛物线上，故以AE为边的平行四边形不存在，只需考虑以AE为对角线的情景，先画出示意图，然后再根据条件计算。解：（1）由题意得抛物线解析式为：，即图19（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图19)令=0,得解得,∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)②当点A为△APD2的直角顶点时可计算得∠OAC=45°∴P2、D2关于轴对称.设D2(,),P2(,)∴()+()=0图20解得,(舍去)∴P2(2,-1)∴P点坐标为P1(1