V型图像的函数解析式的求法

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1、“V”型函数图像的解析式的求法窗体底端——基于人教A版数学必修一同步练习册几道习题的处理湖北省宜城三中高兴兵邮编441400教材中的很多例题和习题往往是各类习题命制的题根，在教学中，基于学生现有知识和能力，如果我们能够立足教材并对其中典型题目进行联想、类比、迁移和拓展，就能充分发挥教材的潜移默化作用，使得看似棘手的问题迎刃而解。基于对《长江全能学案》数学必修一同步练习册几道例习题的处理，笔者在这里谈谈如何有效发挥教材的作用。[问题1]第8页例3的第（4）小题：若已知集合，，求。【解析】在平面直角坐标系中，画出集合A和B表示的点集的图形（如图）。由于学生刚上高中

2、，对于函数的概念仅仅停留在初中水平，本题考察的分段函数显然超出学生能力，故我们考虑在学习函数及其表示一节后再来解决本题。[问题2]第28页的例5：已知函数的图象如图所示。（1）求的定义域，值域；（2）求的值和的解析式。【解析】（1）由图象，易知函数的定义域为，值域为。（2）由图象，易知。当时，设，将代入，得，即；同理可求出当时，。综上，得上述处理过程十分完美，本题的解决可以嘎然而止了。但考虑到学生直至高三可能也只是做到这里，很少有学生化简解析式为这说明学生没有抓住这类函数解析式的另一个本质，这就需要老师的及时引导。我们先来看高中数学人教A版必修一第21页例5，

3、画函数的图象。解：由绝对值的概念，我们有所以，函数的图象如图1.2-4所示。含绝对值的函数，如去掉绝对值符号，则是分段函数。化为分段函数，是作这类函数图像的“保底”的方法。我们再看《长江全能学案》数学必修一同步练习册第25页变式1第（2）小题，作出函数的图象。【分析】可以仿照课本例5去掉绝对值符号，化为分段函数，先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象。换个角度思考，函数与函数之间是有联系的，从初中学习的经验可知，可将函数的图象向右平移2个单位得到函数的图象。如上我们还可以得到函函数的图象，只需将函数的图象向上平移3个单位即可。另课本第33页右上方的函

4、数图像和这三个函数的图象完全一样，都是“V”型的，考虑到我们遗留的两个问题所呈现的图形均是“V”的，它们之间必然有着某种内在联系。定义：一般地,我们把函数(其中a,h,k为常数且a≠0)叫做V型函数。通过对函数的图象进行平移与伸缩变换可得函数的图象。由初高中衔接课的内容，类比二次函数与的联系可知，函数的图象关于直线x=h对称,顶点坐标是，系数时图象开口向上，时图象开口向下，的绝对值大小决定图象开口的大小，其中的绝对值越大，图象开口越小，反之开口越大。如此以来，我们看问题1，两个集合并集表示的函数图象呈V型，其顶点坐标为，可设其解析式为，又其图象过点，可知，故有

5、其解析式为，题目得解。再看问题2，函数图象亦呈V型，其顶点坐标为，可设其解析式为，又其图象过原点，可知，故得函数解析式为山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。教学中，对例题或习题进行适当的加工和深化，可以有效提升学生学习的兴趣，立足教材，形成知识网络，通过联想、类比、迁移和拓展，就能充分发挥教材的潜移默化作用，使得各类问题融汇贯通，游刃有余。