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单位代码－１０６３５０１２０１３３１４０００１５４Ｉ！学号博士学位论文几类空间异质反应扩散模型研究论文作者：任新志指导教师：刘贤宁教授学科专业：应用数学研究方向：动力系统及应用提交论文日期：２０１８年３月２０日论文答辩日期１８年５月２９日：２０学位授予单位：西南大学中国？重庆２０１８年５月 独创性声明间异质反应扩散模型研究学位论文题目：几类空本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的，文中己加研宄成果。论文中引用他人己经发表或出版过的研宄成果、了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师朋友、同仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。日期Ｚ０：７＾年３月日学位论文作者：签字学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规，允定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院（筹）可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（：□不，保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文保密□保密期限至年月止）。学位论文作者签名：如导师签名：日签字日期：月＞〇日签字日期：年ｊ月 目录目录摘要IAbstractIII第1章绪论11.1研究背景及意义............................11.1.1固定区域模型的研究背景及意义...............11.1.2自由边界模型的研究背景及意义...............41.2本文的主要工作及创新点......................7第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型112.1模型的建立..............................112.2有界域的动力学性态.........................152.2.1一般系统的分析........................162.2.2同质空间和异质扩散能力...................232.3行波解.................................242.4数值模拟................................462.5结论和讨论..............................51第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型533.1模型的建立..............................533.2初始结果................................563.2.1适定性............................573.2.2非负稳态............................613.3病毒存在的单物种系统........................653.3.1子系统的动力学性态.....................653.3.2子系统的正稳态........................723.4全系统的动力学性态.........................813.5结论和讨论..............................88I 西南大学博士学位论文第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统904.1模型的建立..............................904.2初始结果................................944.3小的对流速度对竞争收益的影响...................1034.3.1传播-消失四分法.......................1034.3.2解的长时间行为........................1044.3.3最小栖息地大小........................1134.4大的对流速度对竞争收益的影响...................1164.5中等大小对流速度对竞争收益的影响................1184.5.1c21≤β1时,病毒一致持续.当空间均匀时,得到了R0的精确形式以及正常数稳态的全局渐近稳定性.另外,我们考虑了无界域Ω=R的情况.当感染细胞的移动能力不超过病毒的移动能力时,通过利用Schauder不动点定理、极限讨论、LaSalle’s不变集原理和单边拉普拉斯变换等方法证明了行波解的存在性并得到了最小波速c∗.同时,也通过数值模拟研究了空间异质性和扩散能力等对病毒传播的影响.通过数值模拟发现：渐近传播速度可能会大于最小波速；当用空间平均的系统代替空间精确的系统研究时,可能会过高或过低估计传播风险R0;当忽略细胞的移动能力时,传播风险也可能被高估；如果忽略感染细胞的移动能力,最小波速也可能会被高估或低估.第三章建立并分析了考虑病毒感染的两个细菌物种竞争单一营养物的反应-扩散模型.首先,得到了系统的适定性、平凡和半平凡稳态的存在性以及稳态的先验估计.然后,研究了一个具有病毒存在的单物种子系统.得到了子系统的平凡和半平凡稳态的稳定性,以及子系统的一致持续性.此外,取病毒的感染能力作为分支参数,通过利用分支理论和极限讨论等得到了正稳态的全局结构和病毒对正稳态的影响.此时,后向分支可能会发生.同时也给出了一些正稳态的存在I 西南大学博士学位论文唯一性和稳定性的条件.最后,通过使用不动点指数理论得到了整个系统正稳态存在的充分条件.同时,也得到了一些整个系统持续或灭绝的结果.第四章,为了研究对流对两个入侵物种竞争收益的影响,建立并分析了一个一维空间区域上具有四个自由边界的两个物种竞争反应-扩散-对流模型.首先研究了小的对流速度的影响,得到了竞争收益的精确分类、传播速度的估计、解的长时间行为和决定物种能否一直传播的最小栖息地大小.这些结果与不考虑对流的模型类似.然后,研究了大的对流速度的影响,发现两个物种虽然都不能传播成功,但却可以实际传播到下游.最后,研究了中等大小对流速度的影响.得到了一些竞争收益和解的长时间行为的结论.数学上的这些结果意味着依赖于对流速度和边界移动参数的竞争收益非常复杂.同时,在所有情况中,给出了一些物种传播、消失和实际传播的判别准则.最后在结语部分对论文的主要内容进行简单的总结,并结合本文的研究成果提出一些值得进一步研究的工作.关键词:HIV模型;水生系统;基本再生数;反应-扩散;自由边界;传播速度II AbstractAnalysisonSomeReaction-DiffusionModelswithSpatialHeterogeneityAbstractIntheproblemsofpopulationecologyorthespreadofinfectiousdiseases,thediffusionofspecies(viruses,cells,etc.)andthespatialheterogeneityoftheirhabi-tataretwoimportantfactorsthataffecttheirdynamics.Itisaneffectivemethodtoinvestigatetheaboveproblemsbyusingreaction-diffusionmodelsbasedontheactualbackground.Thepurposeofthisthesisistoestablishandanalyzeseveraltypesofreaction-diffusionmodelswithspatialheterogeneity.Intheanalysis,wemainlyfocusonthethresholddynamicsofthemodel,travelingwavesolutions,minimumwavespeed,theeffectsofdiffusionorspatialheterogeneity,thelong-timebehaviorsofthesolutions,thesteadystatesofthesystemandtheinfluenceofthemodelparametersonthespecies.Thisthesisisdividedintofivechapters.Inthefirstchapter,theresearchbackgroundandsignificanceoftheproblemsconcernedinthisthesisareintroduced.Meanwhile,themajorandinnovationofthisthesisarebrieflystated.Inthesecondchapter,areaction-diffusionwithin-hostHIVmodelispro-posed.Itincorporatescellmobility,spatialheterogeneityandcell-to-celltrans-mission,whichdependsonthediffusionabilityoftheinfectedcells.Inthecaseofaboundeddomain,thebasicreproductionnumberR0isestablishedandshownasathreshold:thevirus-freesteadystateisgloballyasymptoticallystableifR0<1andthevirusisuniformlypersistentifR0>1.TheexplicitformulaforR0andtheglobalasymptoticstabilityoftheconstantpositivesteadystateareobtainedforthecaseofhomogeneousspace.InthecaseofanunboundeddomainandR0>1,theexistenceofthetravelingwavesolutionsisprovedandtheminimumwavespeedc∗isobtained,providingthemobilityofinfectedcellsdoesnotex-ceedthatofthevirus.TheseresultsareobtainedbyusingSchauderfixedpointtheorem,limitingargument,LaSalle’sinvarianceprincipleandone-sideLaplaceIII 西南大学博士学位论文transform.Itisfoundthattheasymptoticspreadingspeedmaybelargerthantheminimumwavespeedvianumericalsimulations.However,oursimulationsshowthatitispossibleeithertounderestimateoroverestimatethespreadriskR0ifthespatialaveragedsystemisusedratherthanonethatisspatiallyexplicit.Thespreadriskmayalsobeoverestimatedifweignorethemobilityofthecells.Itturnsoutthattheminimumwavespeedcouldbeeitherunderestimatedoroverestimatedaslongasthemobilityofinfectedcellsisignored.Inthethirdchapter,areaction-diffusionsystemoftwobacteriaspeciescom-petingasinglelimitingnutrientwiththeconsiderationofvirusinfectionisderivedandanalyzed.Firstly,thewell-posednessofthesystem,theexistenceofthetriv-ialandsemi-trivialsteadystatesandsomepriorestimationsofthesteadystatesaregiven.Secondly,asinglespeciessubsystemwithvirusisstudied.Thesta-bilityofthetrivialandsemi-trivialsteadystatesandtheuniformpersistenceofthesubsystemareobtained.Further,takingtheinfectiveabilityofvirusasabifurcationparameter,theglobalstructureofthepositivesteadystatesandtheeffectofvirusonthepositivesteadystatesareestablishedviabifurcationtheoryandlimitingarguments.Itisshowsthatthebackwardbifurcationmayoccur.Somesufficientconditionsfortheexistence,uniquenessandstabilityofthepositivesteadystatearealsoobtained.Finally,somesufficientconditionsontheexistenceofthepositivesteadystatesforthefullsystemarederivedbyusingthefixedpointindextheory.Someresultsonpersistenceorextinctionforthefullsystemarealsoobtained.Inthefourthchapter,inordertostudytheinfluenceofadvectionspeedonthecompetitiveoutcomesoftwoinvadingspecies,weproposeandinvestigateareaction-diffusion-advectionweakcompetitionsystemwithfourfreeboundariesinonedimensionalspace.Inthecaseofsmalladvectionspeed,theexplicitclassificationofthecompetitiveoutcomes,theestimationofthespreadingspeed,thelongtimebehaviorsofthesolutionsandtheminimalhabitatsizewhichdetermineswhetherthespeciescanalwaysspreadornotareobtained.Theresultsaresimilartothecasewithnoadvection.Inthecaseoflargeadvectionspeed,IV Abstractbothtwospeciescannotspreadsuccessfully,butmayvirtualspreaddownstream.Inthecaseofmedium-sizedadvectionspeed,somecompetitiveoutcomesandthelongtimebehaviorsofthesolutionsarealsoobtained.Mathematicalresultssuggestthatthecompetitiveoutcomes,whichdependontheadvectionspeedandmovingparameters,areverycomplicated.Somecriteriaforspreading,vanishingandvirtualspreadingarealsoestablishedinallcases.Attheend,themaincontentsofthisthesisarebrieflysummarizedandsomeworthwhilefutureworksrelatedtoourresultsareputforward.Keywords:HIVmodel;Aquaticsystem;Basicreproductionnumber;Reaction-diffusion;Freeboundary;SpreadingspeedV 第1章绪论第1章绪论1.1研究背景及意义种群生态学和传染病动力学是生物数学中两个蓬勃发展的重要分支,其研究内容包括种群数量的变化、种群间相互作用,以及传染病传播动力学等.在生物入侵或传染病的传播中,种群(物种、病毒、细胞、人群等)的移动及其所处环境的异质性是影响种群入侵收益或传染病控制的重要因素.目前已有通过建立斑块模型(空间离散[26,86])、积分差分方程模型(时间离散[76,91])以及反应-扩散方程模型(空间和时间均连续)等方法讨论种群移动或空间异质性的影响的研究.本文将根据种群或传染病(病毒)的实际背景,建立并分析一些特定的反应-扩散方程模型,希望我们的结果可以为解决实际问题提供一定的帮助.根据模型的实际背景,本章首先介绍固定区域上的模型,然后介绍自由边界模型.1.1.1固定区域模型的研究背景及意义这一小节主要介绍固定区域上的一些生物数学模型的研究进展,主要包括传染病模型和恒化器模型.(一)传染病模型传染病是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病,可以通过食物、水、空气等传播,具有传染性和流行性的特点.无论是中世纪的黑死病、1918年的大流感,还是2003年的SARS都对人类健康和生存带来了重大威胁.了解传染病的传播规律或不同控制措施的控制效果对传染病的防控具有积极的指导作用.而通过建立数学模型来研究也是一种有效的方法.传染病动力学就是通过构建能反映传染病特性的数学模型,并对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟等,来显示疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求预防和控制的最优策略,为防制决策提供理论基础和数量依据.利用数学方法研究传染病的奠基性工作是1927年Kermack和McKendrick构造的SIR仓室模型.他们同时也提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”.在其1 西南大学博士学位论文模型中根据个体所处的感染状态,将人群分为三类：易感者、感染者和恢复者.以此模型为基础,后续出现了大量考虑不同因素的研究传染病的数学模型[22,75].上述模型都是从宏观上将人群进行分类而建立模型.随着生物学技术的发展,人类对传染病的认识也从宏观的种群程度扩展到微观的细胞、病毒程度.对传染病模型的研究也从群体扩展到体内,建立了各种病毒动力学模型来研究病毒、细胞、免疫系统等之间的相互作用.为了研究HIV感染对靶细胞CD4+T细胞的影响,Perelson等于1993年、1999年分别建立了包含健康细胞自我增殖的考虑不同因素影响的HIV感染动力学模型[117,118].Nowak和May于2000年忽略了细胞自我增殖的影响,建立了如下模型[112]:T˙=s−kT−βTV,T˙∗=βTV−δT∗,(1.1)V˙=NδT∗−cV,其中,T,T∗,V分别代表健康细胞、感染细胞和病毒的浓度.由于对未感染细胞的增殖机制尚不清楚,大量的文献忽略了细胞自我增殖的影响.在模型(1.1)的基础上,许多研究者根据病毒感染的具体特征建立了大量的病毒动力学模型[96,130].上述所建立的模型都假设病毒和细胞所处的环境是空间均匀的,且病毒和细胞都静止不动.实际上,病毒或细胞可能在组织内或组织间移动,而体内不同组织的结构、构成和生理物理参数都可能不同,这些差异可能会影响病毒的复制和传播[42].为了研究空间结构对病毒感染动态的影响,Funk等[48]通过建立斑块模型研究了病毒移动的影响；Wang和Wang[150]通过在(1.1)的基础上假设病毒随机移动而建立了如下的描述HBV感染模型：∂T=s−kT−βTV,∂t∂T∗∗=βTV−δT,(1.2)∂t∂V∗=d∆V+NδT−cV,∂t其中(x,t)∈(−∞,+∞)×(0,+∞),d为自由病毒的扩散速率.模型(1.2)中假设健康细胞和感染细胞固定不动,而病毒自由移动.此后,一些学者通过考虑不同因素研究了类似的只考虑病毒移动的模型[39,148,151].此外,也有一些学者研究了同时考虑细胞和病毒移动的反应扩散模型：考虑感染细胞对病毒颗粒的排斥效应的模型[82]、趋化性模型[138]、参数依赖于空间的模型[114]、考虑细2 第1章绪论胞焦亡影响的非局部模型[160]等.本文第二章将在上述模型的基础上,通过考虑HIV感染的实际背景,建立并分析一个具有空间异质性和细胞-细胞传播的反应扩散HIV感染模型.（二）恒化器模型恒化器是由三个容器相连的连续培养装置,最左端的容器包含微生物生长所需的营养物,称为饲养瓶(feedbottle).饲养瓶中的营养物以恒定的速率输入第二个容器中,第二个容器为培养器(culturevessel),内部放有一种或多种微生物.当营养物与微生物充分混合后,以恒定速率流入第三个容器–溢出器(overflowvessel)[134].恒化器不仅是一个理想的水生栖息地模型,同时也是一个精确的包含营养物的微生物系统模型,在污水处理、生物制药等方面也有广泛应用.1977年Hsu等人首次建立并分析了n个物种竞争单一营养物的恒化器模型,并得到了竞争排斥原理,即只有消耗养料最低的微生物种群能够持续生存[68].然而物种共存是自然界中的一种常见现象.因为物种所处的环境复杂多变,营养物浓度也会随时间或空间而改变,为了使模型而符合实际,Hsu和Watlman[69]在1993年提出并分析了改进的恒化器模型–非搅拌(un-stirred)恒化器模型：∂Sm1m2=dSxx−Su−Sv,t>0,00,00,00,xxxSx(t,1)+rS(t,1)=0,ux(t,1)+ru(t,1)=0,t>0,(1.4)vx(t,1)+rv(t,1)=0,t>0,和初值条件(0)(0)(0)S(0,x)=S(x)≥0,u(0,x)=u(x)≥0,v(0,x)=v(x)≥0,(1.5)且u(0),v(0)̸≡0,其中S(t,x),u(t,x),v(t,x)分别表示t时刻在x位置的营养物、第一个竞争物种和第二个竞争物种的浓度；N(0)为营养物的输入浓度.假设3 西南大学博士学位论文各物种具有相同的扩散速率.通过分析(1.3),作者得到了竞争共存的结果,说明扩散可以导致物种共存.在模型(1.3)中,虽然模型的参数是常数,但边界条件导致营养物的浓度随时间和空间而变化,所以也可以认为其是一个空间异质的模型.此后,有许多研究具有不同因素影响的非搅拌恒化器模型：比如抑制剂或毒素[109,169]、两种营养物资源[58,110,179]等.在导致多物种共存的因素中,病毒的引进也是导致竞争物种共存的一个重要因素[63,111].Northcott等[111]在2012年建立一个搅拌均匀的恒化器模型来研究病毒对竞争物种的影响.Northcott等假设：(1)只有强竞争者对病毒易感；(2)细菌通过与其他感染的细菌或破裂的细菌密切接触而感染病毒进而变成感染者;(3)一些感染的细胞能够通过清除病毒而变成易感者,其建立的模型如下：dN0αS1S1NαS2S2NαIIN=(N−N)D−−−,dtηS1ηS2ηIdS1=S1(−DS1+αS1N)−βS1I+dI,dt(1.6)dI=I(−DI+αIN)+βS1I−dI,dtdS2=S2(−DS2+αS2N),dt其中R,S,I,S分别为营养物、易感物种、感染物种和抗病毒物种的浓度,N012为营养物的输入浓度,D为营养物流入培养器的输入率和从培养器中流出的溢出率；DS1,DI,DS2分别为对应物种的死亡率和溢出率；αS1,αI,αS2为增长率,ηS1,ηI,ηS2为对应物种的收益常数.感染速率为β,d为感染恢复率.模型(1.6)与其他考虑病毒影响的恒化器模型[63,77,123,133,163]的不同点之一是模型(1.6)中并没有精确的包含病毒.模型的简化使其更易分析,从而可以得到更多的结果.本文第三章将在模型(1.6)的基础上建立并分析一个考虑空间异质性和扩散的影响的非搅拌恒化器模型.1.1.2自由边界模型的研究背景及意义这一节主要介绍种群生态学模型的研究进展.早在1798年,英国传教士Malthus就提出了一个著名的单种群常微分方程模型来预测人口的变化趋势.Malthus模型在预测人口变化时会出现人口数量趋于无穷的情况(与实际不符).实际上,当种群数量很大时,种群可能会由于资源等4 第1章绪论因素的限制而自我抑制.Verhulst考虑了这个因素,并于1838年提出了Logistic方程：()dNN=rN1−,dtK其中N代表种群的数量或密度,r代表种群的内禀增长率,K为环境承载能力.上面考虑的模型是单种群模型,在自然界中,经常存在物种之间相互作用的现象.Volterra(1926)和Lotka(1925)分别通过考虑不同问题建立了两物种相互作用的Lotka−Volterra捕食者-食饵模型.一般形式的两物种Lotka−Volterra模型如下：dudt=u(a1+b1u+c1v),(1.7)dvdt=v(a2+b2u+c2v),其中,两物种之间的相互关系(捕食、竞争、互惠等)由模型的参数决定.模型(1.7)中假设物种所处的空间是均匀的,且忽略了物种移动速率的影响.在实际的物种入侵或物种间相互作用时,物种所处的环境经常是非均匀的,且物种经常从浓度高位置向浓度低位置扩散.已有许多作者研究了扩散或空间异质性对两竞争物种的影响[65,66].另外,在自然界中,许多物种能够依赖生物或非生物因素(气候、食物等)进行扩散,如：一些生活在河流或小溪中的物种受到水流的定向流动的影响、植物种子受到风速的影响等.为了研究物种在定向流动环境下的共存机制及其空间斑图(Spatialpattern),Lutscher等在模型(1.7)的基础上建立了一个两物种竞争的反应-对流-扩散方程模型[92]：∂u=d1uxx−β1ux+u(a1(x)−b1u−c1v),t>0,00,00,s′(t)=−µu(t,s(t))t>0,1x(1.9)ux(t,0)=u(t,s(t))=0,t>0,s(0)=s0>0,u(0,x)=u0(x)≥0,0≤x≤s0,其中u(t,x)表示入侵物种t时刻在位置x的浓度；d表示物种的扩散系数；s(t)表示t时刻物种的扩张前沿；s表示入侵物种的初始占据范围的长度;s′(t)=0−µ1ux(t,s(t))表示物种扩张前沿满足的方程,其与Stefan条件吻合.文献[16,29]详细的给出了物种边界变化的推导过程.通过对模型(1.9)的分析,作者发现物种要么在整个空间传播成功要么灭绝；同时物种的传播成功或灭绝依赖于模型的参数以及初值.这些结果都与传统的固定边界问题不同,也更符合实际.以此模型为基础,后来又出现很多研究不同生态或传染病问题的自由边界模型：单物种模型[9,54,56,57,78]、竞争模型[32,59,166,167]、捕食者-食饵模型[153,155,156,159,176,180]、传染病模型[2,85,183]等.上述模型并没有考虑下面的情况:两个竞争物种被同时引进到一个新的栖息地,且这两个物种在栖息地中的传播相互独立并受到风或水等定向流动的影响.最近,Chen等[20]建6 第1章绪论立并分析了在弱对流速度下的一个具有异质周期系数和两个自由边界的反应-扩散-对流自由边界竞争模型,并得到了传播-消失四分的结果.本文第四章将建立并分析一个具有四个自由边界的反应-扩散-对流两物种竞争模型,并讨论对流速度对物种竞争收益的影响.1.2本文的主要工作及创新点在实际的生态动态或传染病传播过程中,空间因素和物种在空间的迁移是两个非常重要的影响因素.近年来,已有大量的生态或传染病模型考虑了空间因素或物种迁移因素的影响,这些模型包括反应-扩散方程模型、集合种群模型和斑块模型等.本文将根据实际背景,从微观到宏观角度建立并分析几类具有空间异质性的反应-扩散模型,研究空间异质性和物种的扩散等对生态或传染病控制的影响,为实际的生态或传染病控制提供帮助.下面分章节介绍.本文第二章从微观角度考虑了HIV在体内的感染进程.针对HIV在体内的传播过程,我们主要关注以下问题:宿主体内环境的空间异质性或病毒粒子和细胞的移动性是如何影响HIV的感染动态的？是否存在行波解？病毒在体内的传播速度有多快？病毒的传播速度能否降低？根据HIV感染的实际背景,建立并分析了一类具有细胞-细胞感染的反应-扩散病毒模型：∗Tt=∇·(d1(x)∇T)+λ(x)−d(x)T−β1(x)TV−β2(x)TT,t>0,x∈Ω,T∗=∇·(d(x)∇T∗)+β(x)TV+β(x)TT∗−r(x)T∗,t>0,x∈Ω,t212∗Vt=∇·(d3(x)∇V)+N(x)T−e(x)V,t>0,x∈Ω,T(0,x)=T0(x)≥0,T∗(0,x)=T∗0(x)≥0,V(0,x)=V0(x)≥0,x∈Ω,和∂T(t,x)∂T∗(t,x)∂V(t,x)===0,t>0,x∈∂Ω.∂ν∂ν∂ν在模型中考虑了细胞移动性、空间异质性和细胞-细胞传播,其中细胞-细胞传播的能力依赖于感染细胞的扩散能力.在度量病毒在体内的控制过程中,病毒的基本再生数是一个重要的量,其定义为将病毒引进到未感染环境中,一个病毒所能感染的的细胞生成的后代病毒的数量.为了研究病毒的基本再生数,本章首先假7 西南大学博士学位论文设病毒所处的区域为具有纽曼边界条件的有界域,然后通过利用下一代算子方法得到空间异质环境下的病毒传播阈值R0(基本再生数):当R0<1时无病毒稳态全局渐近稳定；而当R0>1时,病毒一致持续.在空间是均匀的情况下,得到了R0的精确形式,建立了正常数稳态的全局渐近稳定性.在病毒感染的早期阶段,病毒的传播速度是了解病毒进程的一个重要的量.为了度量病毒的传播速度,我们假设病毒所处的空间为无界域Ω=R,并假设模型的参数为常数.通过利用Schauder不动点定理、极限讨论、LaSalle’s不变集原理和单边拉普拉斯变换等方法得到了当感染细胞的移动能力不超过病毒的移动能力时行波解的存在性和最小波速c∗.我们进一步通过数值模拟方法研究了空间异质性和扩散能力对病毒传播或控制的影响.数值模拟发现渐近传播速度可能会大于最小波速；当用空间平均的系统代替空间精确的系统时,可能会过高或过低估计传播风险R0;当忽略细胞的移动能力时,传播风险也可能被高估；如果忽略感染细胞的移动能力,最小波速也可能会高估或低估.病毒不仅在微观上会对宿主造成影响,在宏观上也可以对种群或环境造成较大的影响.众所周知,病毒不仅是水生系统中最多的物种,并且可能会对水生系统造成很大影响.本文第三章将考虑在水生环境下病毒对两竞争物种竞争收益的影响.为了使模型更符合实际,我们将建立非搅拌的恒化器模型.所建立的具有病毒的竞争水生系统模型如下：∂N111=d0Nxx−f1(N)S−µf1(N)I−f2(N)B,t>0,x∈Ω,∂tη1η1η2∂S=d0Sxx+f1(N)S−βSI+dI,t>0,x∈Ω,∂t∂I=d0Ixx+µf1(N)I+βSI−(d+γ)I,t>0,x∈Ω,∂t∂B=d0Bxx+f2(N)B,t>0,x∈Ω,∂t具有边界N(t,0)=−N0,S(t,0)=I(t,0)=B(t,0)=0,t>0,xxxxNx(t,1)+αN(t,1)=0,Sx(t,1)+αS(t,1)=0,t>0,Ix(t,1)+αI(t,1)=0,Bx(t,1)+αB(t,1)=0,t>0,8 第1章绪论和初值条件N(0,x)=N(0)(x)≥0,S(0,x)=S(0)(x)≥0,(0)(0)I(0,x)=I(x)≥0,B(0,x)=B(x)≥0,且在Ω上S(0),B(0)̸≡0,其中Ω=(0,1),N(t,x),S(t,x),I(t,x),B(t,x)分别是t时刻在位置x的营养物、易感物种、感染物种和抗性物种的浓度.通过分析,首先得到了系统的适定性,并构造了原系统的等价系统,得到了平凡和半平凡稳态的存在性以及稳态的先验估计.然后,讨论了病毒对单物种系统的影响.利用线性化方法、谱分析等方法得到了子系统的平凡和半平凡稳态的稳定性,以及子系统的一致持续性.此外,为了研究病毒存在对单物种系统的影响,取病毒的感染能力作为分支参数,通过利用分支理论和极限讨论等方法得到了正稳态的全局结构和病毒对正稳态的影响.此时,系统可能会出现后向分支.我们也给出了一些正稳态存在唯一性和稳定性的条件.最后,为了研究病毒存在是否会导致两物种共存以及两物种共存的条件,我们通过利用不动点指数理论得到了整个系统正稳态存在的充分条件.同时,也得到了一些整个系统持续或灭绝的结果.在实际的物种入侵例子中,存在两竞争物种被同时引进到具有对流的环境(如河流等)中的情况.为了研究对流速度对两竞争物种入侵收益的影响,在第四章,我们将建立并分析一个具有四个自由边界的两物种竞争模型：ut=d1uxx−βux+r1u(1−u−k1v),g1(t)0,vt=d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2u),g2(t)0,′′g1(t)=−µ1ux(t,g1(t)),s1(t)=−µ1ux(t,s1(t))t>0,′′g2(t)=−µ2vx(t,g2(t)),s2(t)=−µ2vx(t,s2(t))t>0,u≡0,x̸∈(g1(t),s1(t)),t≥0;v≡0,x̸∈(g2(t),s2(t)),t≥0,0−gi(0)=si(0)=si,(i=1,2);u(0,x)=u0(x),v(0,x)=v0(x),其中u(t,x)和v(t,x)分别表示t时刻两个物种在位置x的密度.我们首先给出了模型解的一些初始结果和与此模型相关的比较原理.然后讨论了对流速度对两物种入侵收益的影响,首先讨论了小的对流速度情形,得到了竞争收益的精确分类(传播-消失四分法)、传播速度的估计、解的长时间行为和决定物种能否一直传播的最小栖息地大小.通过与对流速度为0的模型的比较可以发现,此时得9 西南大学博士学位论文到的结果与不考虑对流的模型类似.然后,研究了大的对流速度的情形,发现此时虽然两个物种都不能传播成功,但却可以实际传播到下游.最后,讨论了中等大小对流速度的情况.通过分析得到了一些竞争收益和解的长时间行为,此时并不能得到两物种入侵收益的完备分类,两物种的入侵收益情况比较复杂.数学上的结果显示依赖于对流速度和边界移动参数的竞争收益非常复杂.同时,在所有情况中,我们也给出了一些物种传播、消失和实际传播的判别准则.本章所用到的方法主要是比较原理,需要根据问题构造适当的比较系统.本段给出论文的创新点,论文的创新点主要包含理论上和生物意义方面.论文创新点如下：(1)在HIV感染模型中考虑了更具体的空间因素的影响.尽管已有大量的研究病毒动力学模型的工作,但并没有同时考虑环境异质性、细胞-细胞传播、易感细胞和感染细胞具有不同的移动性的反应扩散模型的研究.本文根据HIV在体内感染的实际背景,建立了相应的数学模型,并得到了异质环境下控制病毒感染的病毒基本再生数.同时还研究了空间异质性对病毒传播和控制的影响,具有较好的生物意义.说明了空间异质性对病毒的控制具有重要的影响.(2)针对建立的体内HIV感染模型,首次通过适当的方法从理论上得到了病毒传播的最小波速,还模拟了扩散系数对最小波速的影响及病毒的渐近传播速度.发现最小波速小于渐近传播速度且感染细胞的移动能力对病毒的传播具有重要的影响.(3)在水生系统中引入病毒,建立了更符合实际的模型.得到了病毒不仅可以逆转竞争收益而且还可以调谐竞争物种共存,具有一定的生物意义.(4)通过自由边界问题研究了两竞争物种同时被引入河流系统等对流环境中的入侵收益问题,讨论了对流速度对竞争收益的影响.通过构造适当的比较系统等方法得到了自由边界问题的竞争收益.我们不仅将已知结论扩展到更一般的情况,而且还得到了新的现象和结论.10 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型2.1模型的建立病毒在宿主体内入侵和建立持续性感染的过程是非常复杂的,它包含许多因素：如病毒、宿主细胞和免疫系统之间的相互作用等.特别地,对HIV感染,病毒粒子通常首先必须穿过一些实质性物理屏障(例如生殖器或直肠粘膜表面的上皮细胞)去接触靶细胞而建立一个小的感染细胞奠基者种群.目前,已有两个有效的机制来描述这个过程：通过HIV的扩散渗透和携带或感染HIV的细胞的跨上皮迁移进入上皮[4,19].随后,这些奠基者种群局部扩张以传播感染到引流淋巴结,然后通过血流在次级淋巴器官建立一个自我传播的感染.然而,并不清楚病毒是如何通过血流传播而产生系统性的感染[42,61].在HIV的传播中,病毒粒子可能会通过传入淋巴管从末端组织进入淋巴结,而T细胞可能会通过高内皮小静脉(HEVS)进入这些组织[50,97].此外,病毒粒子和感染细胞可以通过传出淋巴管和胸导管输送到血液中[51,99].众所周知,淋巴组织是HIV感染和复制的主要部位之一,且HIV感染的主要靶细胞是CD4T细胞.长期以来,人们认为HIV的复制和传播主要是通过细胞和自由病毒粒子之间相互作用而发生的.然而,最近的实验表明细胞-细胞间的病毒传播(通过未感染细胞和感染细胞稳定接触期间形成的病毒学突触等传播)不仅也有助于病毒持续,而且其对HIV感染的贡献和自由病毒感染的贡献具有相同的量级[23,73,74,81].由于在淋巴组织中CD4T细胞密集地聚集而可能会频繁相互作用,所以我们可以推断在淋巴组织中细胞-细胞传播特别重要,并且淋巴组织中的HIV的局部传播可能与血液中的根本不同.最近,Lorenzo-Redondo等[87]发现：在对病人进行抗病毒药物治疗后,虽然在血液中不能探测到病毒,但是病毒粒子仍然能够复制并在组织之间传输.另外也有实验表明触发焦亡需要细胞-细胞传播,其中焦亡是HIV感染中CD4T细胞消耗的一种有效机制[28,49].所有这些结果都强调了组织中的HIV感染在病毒的持续中发挥着重要作用.淋巴组织由许多大小不同的淋巴结组成[121].Strain等[140]总结了两个11 西南大学博士学位论文局部化与HIV感染尤其相关的原因:病毒是内在不稳定的和靶细胞密集地聚集在淋巴组织中.事实上,不同组织具有不同的组织结构和组成以及生物物理参数,这可能会影响病毒的传播和复制[42].Lorenzo-Redondo等[87]表明HIV能够继续在淋巴组织庇护区复制，然后补充病毒库,从而导致尽管实施治疗但病毒感染仍能持续.因此,病毒在感染的宿主体内面临着显著不同的生理环境,这可能会影响体内的HIV动态,尤其是在感染的早期阶段.基于上述原因,为了更好的了解病毒的发病机制,我们有必要在病毒感染的早期阶段就考虑组织的空间特征.注意到在细胞通量方面具有不对称结构的淋巴结由淋巴管连接[126,137],并且T细胞能够通过血液和淋巴管移动[80].Miller等[100]得到正常淋巴结内的T细胞能够以10.8±0.1µmmin−1的平均速度移动,并且通过使用双光子激光显微镜发现T细胞的轨迹在长时间内显现随机性.Beltman等[10]认为T细胞的迁移行为可能依赖于稠密聚集的淋巴结环境.Nakaoka等[105]表明并不是所有的淋巴组织都有传入淋巴管和传出淋巴管,但是这些组织仍有一些其它的移入或移出路径,比如M细胞、HEVS等[113].实际上,淋巴细胞的移动行为受到许多趋化因子(比如CCL19、CCL21、CXCL12、CXCL13)和非趋化因子配体(HIV-1IIIB的CXCR4-向性的包膜糖蛋白gp120)的影响[52,147],这些因子的分布可能因组织而异.所以,为了研究淋巴细胞的移动能力对组织中HIV感染动力学的影响,根据生理环境和组织结构,我们将考虑异质性的细胞移动能力.通过人源化老鼠实验和使用多光子活体镜检法,Murooka等[104]第一次可视化了感染HIV的人类T细胞在活体动物淋巴结内的行为.他们发现大多数感染细胞以平均∼7µmmin−1的平面(2D)迁移速度鲁棒地迁移,这意味着与健康细胞相比,HIV导致感染T细胞的移动性部分降低.感染细胞移动性的降低可能是由Nef蛋白引起的[42].同时,实验显示该病毒也可能利用感染细胞贯穿全身而感染其它CD4T细胞.因为有效的细胞-细胞感染需要在靶细胞和感染细胞之间形成稳定的接触,所以感染细胞的移动可能会降低接触的稳定性从而破坏细胞-细胞感染.Sourisseau等[136]观察到轻微地摇动感染病毒的细胞培养基,细胞-细胞感染就会被阻止.因此,我们推测细胞-细胞感染的有效感染能力与感染细胞的移动性相关.自由HIV病毒粒子在组织内和组织间的移动受到有限的扩散、生物物理屏障和免疫屏障等因素的限制[128].目前,已有很多关于组织中病毒粒子移动性12 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型的研究.Ewers等[41]发现猿类免疫缺陷病毒40受体的移动能力超过与它结合的病毒2个量级.Boukari等[13]发现HIV病毒在人类宫颈粘液中的运动行为并不能被视为典型的扩散而应该是反常扩散和类似流动行为的混合,并且与在水溶液中相比,病毒的运动能力降低了200倍.Strain等[140]通过运用Stokes-Einstein关系估计了HIV的扩散系数,这种方法也可以用来计算肿瘤病毒的扩散常数[127].此外,Andreadis等[5]通过利用非线性回归分析估计了逆转录病毒Moloney小鼠白血病病毒的扩散率.由上面的这些结果可知:病毒粒子的扩散能力因组织或环境而异.由于HIV感染传播的复杂性,所以通过实验来研究整个过程并不容易.然而,数学模型是理解宿主体内HIV发病机理的有效工具.几十年来,已有很多基于病毒-宿主模型的研究来探索病毒和宿主之间的相互作用[116,118,144].这些研究中的大部分都假设环境是均匀混合的或同质的,并忽略了病毒或细胞的移动性.然而,在同质环境的假设下,他们可能会过高或过低估计病毒发病机制的关键因素的影响.此外,也已有一些通过建立数学模型探索空间特征和病毒或细胞的移动性对宿主体内动力学的影响的研究.Wang和Wang[150]提出了一个无界域上的宿主体内的HBV模型,并得到了当病毒的扩散能力充分小时最小波速的存在性.紧接着,Wang等[151]又提出和分析了一个有界域内的时滞反应-扩散模型,其中时滞与细胞被感染和新的HBV病毒粒子的产生之间的时间长度有关.Dunia和Bonnecaze[39]研究了一个一般的球形器官内的病毒感染模型,这个模型考虑了免疫细胞的扩散、渗透和增值.为了研究空间异质性对病毒传播动态的影响,Wang等[148]研究了一个一般的病毒感染模型,并假设模型的所有参数都依赖于空间.所有上述模型都可以用来描述像HBV这样的宿主细胞不移动的病毒.然而,通过前面的分析可知一些病毒的宿主细胞可以移动,比如HIV.为了研究感染细胞对病毒粒子的排斥效应,Lai和Zou[82]建立了一个反应-扩散模型,并且研究了模型的全局动力学和传播速度.在这个模型中,他们假设靶细胞和感染细胞具有相同的移动能力,并在研究行波解和通过数值模拟研究传播速度时都忽略了这两类细胞的移动性.Stancevic等[138]提出了一个具有趋化性的模型来研究早期阶段炎症反应的影响,作者主要关注图灵斑图(Turingpatterns).为了研究淋巴组织对HIV感染动态的影响,Nakaoka等[105]最近提出了一个同时考虑淋巴组织体积和不同组织之间的连通性的新的数学模型.最近,Pankavich和13 西南大学博士学位论文Parkinson[114]研究了一个反应-扩散HIV模型,在模型中他们假设靶细胞和感染细胞具有不同的移动性、易感细胞的供应速率依赖于空间.他们虽然研究了无病平衡态的全局稳定性,但是并没有得到全局解的耗散性和病毒的持续性.在HIV感染的传播中,病毒的传播是一个局部化的过程[140].所以,我们希望用HIV的局部动态来预测其整体进程.通过建立一个病毒在一小簇细胞中传播的细胞自动机模型,Strain等[140]发现存在一个像行波一样的稳定传播.最近,Bocharov等[12]建立了一个简单的时滞反应-扩散模型来研究病毒在组织中的传播,并通过研究行波得到了一些病毒动态的空间时间模式.所以,在HIV感染中(尤其是在感染的早期阶段),我们对下面几个问题感兴趣：是否存在行波解？病毒在组织内或组织间的传播速度有多快？病毒的传播速度能否降低？众所周知,空间异质性可能会增加传染病模型的传播风险[89],并且感染细胞和病毒粒子的移动性可能会降低传播风险[82].Murooka等[104]发现,在感染的早期阶段,当阻塞迁移性T细胞从淋巴结到传出淋巴的出口时,HIV的血浆病毒血症显著减少,这意味着HIV的传播速率可能依赖于感染细胞的移动性.由于组织环境的异质性,在药物治疗阶段,HIV可能在一些淋巴组织中存在,而在别的组织或血液中探测不到.当病毒在一些小的淋巴组织中存在时,HIV病毒粒子或细胞的移动性也可能会导致感染持续.所以,出现了另一个感兴趣的问题：宿主体内环境的空间异质性或病毒粒子和细胞的移动性是如何影响HIV的感染动态的？众所周知,淋巴系统贯穿全身而却很难在体内研究这个问题,尤其是在感染的早期阶段.我们将通过发展一个数学模型来研究这些问题,从而希望可以提供一些新的观点.通过上面的讨论,我们知道血液是HIV感染的一个重要因素.然而,血液大约一分钟循环一次,并且在外围血液中只有不超过2%的淋巴细胞,而T细胞需要超过6个小时才能穿过淋巴系统[139].此外,细胞-细胞传播主要发生在淋巴组织中.基于这些因素,我们将忽略血液因素的影响,只考虑病毒在组织内或组织间的动态.注意到对于HIV感染,易感靶细胞和感染细胞具有不同的移动性.以前的模型不仅没有同时考虑细胞-细胞传播和空间异质性的影响,而且当易感细胞和感染细胞的移动性都存在时,也没有得到传播速度或行波解的理论证明.在本章节中,我们将通过研究下面的具有空间异质性的反应-扩散HIV模型来考虑这些14 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型因素：∗Tt=∇·(d1(x)∇T)+λ(x)−d(x)T−β1(x)TV−β2(x)TT,t>0,x∈Ω,T∗=∇·(d(x)∇T∗)+β(x)TV+β(x)TT∗−r(x)T∗,t>0,x∈Ω,t212∗Vt=∇·(d3(x)∇V)+N(x)T−e(x)V,t>0,x∈Ω,T(0,x)=T0(x)≥0,T∗(0,x)=T∗0(x)≥0,V(0,x)=V0(x)≥0,x∈Ω,(2.1)和∂T(t,x)∂T∗(t,x)∂V(t,x)===0,t>0,x∈∂Ω,(2.2)∂ν∂ν∂ν其中,Ω代表空间区域,ν是∂Ω的外法向量.由于宿主体内靶组织的结构和组成以及生理环境太复杂而很难描述,所以我们取Ω代表靶组织并假设模型的参数都依赖于空间.在模型中,T(t,x),T∗(t,x)和V(t,x)分别代表健康细胞(CD4T细胞)、感染细胞和病毒粒子在t时刻在位置x的浓度.假设模型的初值是Ω上的连续有界函数.为了简单起见,假设健康细胞、感染细胞和病毒粒子的移动都采用标准的Fick扩散或布朗运动.表2.1给出了模型(2.1)中参数的解释及其均值.另外,我们假设β2(x)是d2(x)的连续非增函数,并且当d2(x)充分大时,β2(x)充分小.由于我们主要关注感染的早期阶段,所以为了简单起见,我们在考虑有界域问题时采用Neumann边界条件.在本章节中,我们假设所有位置依赖的参数都是Ω上连续、严格正和一致有界的函数.并且记a(x)在Ω上的最大值为a,a(x)在Ω上的最小值为a,其中a=λ,β1,β2,d1,d2,d3,d,r,e,N.本章节的安排如下.下一节,我们研究有界域问题(2.1)和(2.2),主要研究解的适定性和模型的全局动力学.第三节,研究无界域上的行波解问题和最小波速.第四节,我们通过数值模拟来研究空间异质性和扩散能力对病毒传播的影响.最后一节,给出了一些结论和讨论.2.2有界域的动力学性态在本节中,我们主要关注异质环境中病毒持续或灭绝的条件.我们首先给出15 西南大学博士学位论文表2.1模型的参数及其均值参数解释(位置x)均值参考文献λ(x)CD4细胞的注入率5.0×105cells/(day.ml)[105]d(x)健康细胞的死亡率0.01day−1[105]r(x)感染细胞的死亡率0.5day−1[106,116]e(x)病毒粒子的死亡率3day−1[106,116]N(x)病毒的产生速率1000virions/(cell.day)[48]β(x)病毒的感染速率1.2×10−10ml/(virions.cells.day)变量1β(x)细胞-细胞感染速率4.5×10−8ml/(cells.cells.day)变量2d(x)健康细胞的扩散速率0.09648mm2day−1[100]1d(x)感染细胞的扩散速率0.05mm2day−1变量2d(x)病毒粒子的扩散速率0.17mm2day−1[140]3系统(2.1)和(2.2)的一些结论,然后研究当除了扩散参数外其它的所有参数都同质时系统的全局动力学行为.2.2.1一般系统的分析在这一小节,我们首先研究系统(2.1)和(2.2)的适定性,包括解的存在性和唯一性.考虑下面的系统:ωt=∇·(d1(x)∇ω)+λ(x)−d(x)ω,t>0,x∈Ω,(2.3)∂ω(t,x)=0,x∈∂Ω,∂ν通过类似于[89,引理1]的讨论,我们可以得到下面的引理.引理2.2.1.系统(2.3)有一个唯一的、在C(Ω,R)上全局渐近稳定的正稳态ω∗(x).此外,当λ和d都是正常数时,ω∗=λ/d.令Y=C(Ω,R3)且具有上确界范数∥·∥,Y+=C(Ω,R3),那么(Y,Y+)是Y+一个保序巴拿赫空间.记Ti(t):C(Ω,R)→C(Ω,R)(i=1,2,3)为∇·(di(x)∇)−16 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型µi(·)在Neumann边界条件下所对应的C0半群,其中µ1(x)=d(x),µ2(x)=r(x)和µ3(x)=e(x).即∫(Ti(t)ϕ)(x)=Gi(t,x,y)ϕ(y)dy,t>0,ϕ∈C(Ω,R),Ω其中Gi(t,x,y)是∇·(di(x)∇)−µi(·)在Neumann边界条件下所对应的格林函数.那么由[132,推论7.2.3]可知Ti(t)(i=1,2,3)对任意的t>0是紧和强正的.显然,存在M>0使得对任意的t≥0有∥T(t)∥≤Meαit,其中α<0是ii∇·(di(x)∇)−µi(·)在Neumann边界条件下所对应的本原特征值.定义F=(F,F,F)T:Y+→Y如下：123F1(ψ)(x)=λ(x)−β1(x)ψ1(x)ψ3(x)−β2(x)ψ1(x)ψ2(x),F2(ψ)(x)=β1(x)ψ1(x)ψ3(x)+β2(x)ψ1(x)ψ2(x),F3(ψ)(x)=N(x)ψ2(x),其中ψ=(ψ,ψ,ψ)T∈Y+.那么系统(2.1)和(2.2)可以重写为下面的积分方123程:∫t∗∗u(t)=u(t)ψ+u(t−s)F(u(s))ds,(2.4)0其中u(t)=(T(t),T∗(t),V(t))T,u∗(t)=diag(T(t),T(t),T(t)).123显然[98,推论4]中的subtangential条件满足,所以下面的引理成立.引理2.2.2.对每一个初值ψ∈Y+,系统(2.1)和(2.2)在解的最大存在区间[0,τ)上有一个唯一的不可延拓的适当解u(t,ψ)∈Y+,其中τ≤+∞.此∞∞外,这个解也是一个古典解.系统(2.1)和(2.2)的解的适定性和全局吸引子的存在性可通过下面的定理得到.定理2.2.1.对于每一个初始值ψ∈Y+,系统(2.1)和(2.2)在[0,+∞)上存在唯一的解u(t,x,ψ)∈Y+,并且解半流Ψ(t)=u(t,·,ψ):Y+→Y+有一个全局吸引子.17 西南大学博士学位论文证明解的存在性、唯一性和正性可以从引理2.2.2得到.假设τ∞<+∞,那么由[98,定理2]可知,当t→+∞时∥u(t,x,ψ)∥→+∞.由(2.1)的第一个方程可得：Tt≤∇·(d1(x)∇T)+λ−dT(x),t∈[0,τ∞),x∈Ω.(2.5)然后根据引理2.2.1和比较原理可知存在一个常数M1>0使得T(t,x)≤M1,t∈[0,τ∞),x∈Ω.从而可得∗∗∗∗Tt≤∇·(d2(x)∇T)+β1M1V+β2M1T−rT,t∈(0,τ∞),x∈Ω,∗Vt≤∇·(d3(x)∇V)+NT−eV,t∈(0,τ∞),x∈Ω.考虑下面的系统：v1t=∇·(d2(x)∇v1)+β1M1v2+β2M1v1−rv1,t>0,x∈Ω,v2t=∇·(d3(x)∇v2)+Nv1−ev2,t>0,x∈Ω,(2.6)∂v1(t,x)∂v2(t,x)==0,x∈∂Ω.∂ν∂ν由标准的Krein-Rutman定理可得系统(2.6)所对应的特征值问题有一个本原特征值λ,且它对应于一个强正的特征函数ϕ=(ϕ1,ϕ2).所以,系统(2.6)对t≥0有一个解σeλtϕ(x),其中σ满足:对x∈Ω有σϕ=(v(0,x),v(0,x)≥12(T∗(0,x),V(0,x)).从而,由比较原理可得∗λt(T(t,x),V(t,x)≤σeϕ(x),t∈[0,τ∞),x∈Ω,这意味着存在一个常数M2>0使得如果τ∞<+∞,则有∗T(t,x)≤M2,V(t,x)≤M2,t∈[0,τ∞),x∈Ω,矛盾.解的全局存在性得证.我们现在证明解半流是点耗散的.根据比较原理、不等式(2.5)和引理2.2.1,我们可以得到存在N1>0使得对任意的初值,都存在依赖于初值的t1>0使得T(t,x)≤N1,t≥t1,x∈Ω.18 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型所以当t>t1时(2.1)的右端反应函数都可以被线性增长函数所控制.令P(t)=∫(T(t,x)+T∗(t,x)+rV(t,x)/(2N))dx.那么P(t)满足Ω∫(())rN(x)∗re(x)Pt=λ(x)−d(x)T(t,x)−r(x)−T(t,x)−V(t,x)dxΩ2N2N∫{()}rN(x)≤λ(x)dx−mind(x),r(x)−,e(x)P,t≥0.ΩΩ2N∫所以limsupt→∞P(t)≤Ωλ(x)dx/minΩ{d(x),(r(x)−rN(x)/(2N),e(x)}.从而由[37]中的类似讨论或[36,引理2.1]易得存在与初值无关的常数C>0使得∗limsupt→∞(∥T(t,x)∥L∞+∥T(t,x)∥L∞+∥V(t,x)∥L∞)≤C,这意味着系统是点耗散的.由[168,定理2.2.6]可得解半流Ψ(t)对任意的t>0是紧的.所以,由[62,定理3.4.8]可知Ψ(t)有一个全局吸引子.在这一小节的余下部分,我们首先定义病毒的基本再生数,然后再证明它是病毒持续或灭绝的一个阈值.由引理2.2.1可知系统(2.1)和(2.2)存在唯一的无病毒平衡态E0=(T0(x),0,0),其中T=ω∗(x).0将系统(2.1)在E0处线性化,我们可以得到下面的方程:P2t=∇·(d2(x)∇P2)+β1(x)T0P3+β2(x)T0P2−r(x)P2,t>0,x∈Ω,P3t=∇·(d3(x)∇P3)+N(x)P2−e(x)P3,t>0,x∈Ω,∂P2=∂P3=0,t>0,x∈∂Ω.∂ν∂ν令(P,P)=eλt(ψ(x),ψ(x)),则上面的系统可以写成下面的合作系统:2323λψ2=∇·(d2(x)∇ψ2)+β1(x)T0ψ3+β2(x)T0ψ2−r(x)ψ2,x∈Ω,λψ3=∇·(d3(x)∇ψ3)+N(x)ψ2−e(x)ψ3,x∈Ω,(2.7)∂ψ2=∂ψ3=0,x∈∂Ω.∂ν∂νKrein-Rutman定理可以保证(2.7)有一个唯一的具有强正特征函数(ϕ2(x),ϕ3(x))的本原特征值λ0(T0).19 西南大学博士学位论文令Φ(t):C(Ω,R2)→C(Ω,R2)为下面系统所对应的解半群：P2t=∇·(d2(x)∇P2)−r(x)P2,t>0,x∈Ω,P3t=∇·(d3(x)∇P3)+N(x)P2−e(x)P3,t>0,x∈Ω,∂P2=∂P3=0,t>0,x∈∂Ω,∂ν∂ν并且定义β2(x)T0β1(x)T0F(x)=.00假设初始感染的分布是ψ=(ψ2(x),ψ3(x)),那么Φ(t)ψ表示这些感染数量随时间演化的分布.所以,总的新感染数量的分布是∫∞L(ψ)(x)=F(x)Φ(t)ψdt.0从而由下一代生成算子可得基本再生数为R0=ρ(L),其中ρ(L)为L的谱半径.通过类似于[161]的讨论,可以得到下面的引理.引理2.2.3.R0−1和λ0具有相同的符号.当R0<1时,稳态E0渐近稳定；当R0>1时,E0不稳定.我们现在证明R0是病毒持续或灭绝的阈值.定理2.2.2.如果R0<1,那么无病毒稳态E0全局渐近稳定.证明由引理2.2.3,存在δ>0使得λ0(T0+δ)<0.由系统(2.1)的第一个方程可得Tt≤∇·(d1(x)∇T)+λ(x)−d(x)T,t>0,x∈Ω,这就意味着存在t1>0使得对任意的t≥t1和x∈Ω都有T(t,x)≤T0+δ.所以,∗∗∗∗Tt≤∇·(d2(x)∇T)+(T0+δ)(β1(x)V+β2(x)T)−r(x)T,t≥t1,x∈Ω,∗Vt≤∇·(d3(x)∇V)+N(x)T−e(x)V,t≥t1,x∈Ω.20 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型假设α(ϕ(x),ϕ(x))≥(T∗(t,x),V(t,x)),其中(ϕ(x),ϕ(x))为本原特征值231123λ0(T0+δ)<0所对应的特征函数.则由比较原理可得∗λ0(T0+δ)(t−t1)(T(t,x),V(t,x))≤α(ϕ2(x),ϕ3(x))e,t≥t1.所以,lim(T∗(t,x),V(t,x))=0,且T(t,x)渐近趋于方程(2.3).从而由渐近t→∞自治半流理论[143,推论4.3]可得limt→∞T(t,x)=T0.根据上面的结果和引理2.2.3可知结论成立.定理2.2.3.假设R0>1,那么存在η>0使得系统(2.1)和(2.2)的每一个初值满足T(0,x)̸≡0,T∗(0,x)̸≡0和V(0,x)̸≡0的解(T(t,x),T∗(t,x),V(t,x))都满足∗liminfT(t,x)≥η,liminfT(t,x)≥η,liminfV(t,x)≥ηt→∞t→∞t→∞对所有的x∈Ω一致.此外,系统(2.1)和(2.2)至少有一个正稳态.证明令X={ϕ=(T,T∗,V)∈Y+:T∗(·)̸≡0和V(·)̸≡0}.显然,∂X=00{(T,T∗,V)∈Y+:T∗(·)≡0或V(·)≡0}.极大值原理和Hopf边界引理意味着X0关于解半流Ψ(t)是正不变的.设M∂={ϕ∈∂X0:Ψ(t)∈∂X0,∀t≥0},并令ω(ϕ)为前向轨道γ+(ϕ)={Ψ(t)(ϕ):t≥0}的ω极限集.∪结论1.ϕ∈M∂ω(ϕ)=E0.因为ϕ∈M,所以T∗(t,x,ϕ)≡0或V(t,x,ϕ)≡0.假设V(t,x,ϕ)≡0,那∂么由(2.1)的第三个方程可知T∗(t,x,ϕ)≡0.所以,当t→∞时T(t,x,ϕ)→T0对x∈Ω一致.如果存在一个t0≥0使得V(t0,x,ϕ)̸≡0,那么由极大值原理和Hopf边界引理可知对所有的t>t0都有V(t,x,ϕ)>0,这导致对所有的t≥t0都有T∗(t,x,ϕ)≡0.从而由(2.1)的第三个方程可得V(t,x,ϕ)→0对x∈Ω一致.所以T(t,x,ϕ)渐近收敛于方程(2.3).因此,渐近自治半流理论[143,推论4.3]可以确保当t→∞时T(t,x)→T0对x∈Ω一致.因为R0>1,所以存在δ>0使得λ0(T0−δ)>0.21 西南大学博士学位论文结论2.E0是一个一致弱排斥子,即对所有的ϕ∈X0都有limsupt→∞∥Ψ(t)(ϕ)−E0∥≥δ.反证法.假设存在一个ϕ0∈X0使得limsupt→∞∥Ψ(t)(ϕ0)−E0∥<δ.那么,存在t1>0使得T(t,x,ϕ0)>T0−δ,∀t≥t1.从而,我们可以得到∗∗∗∗Tt≥∇·(d2(x)∇T)+(T0−δ)(β1(x)V+β2(x)T)−r(x)T,t≥t1,x∈Ω,∗Vt≥∇·(d3(x)∇V)+N(x)T−e(x)V,t≥t1,x∈Ω.(2.8)记(ϕ2(x),ϕ3(x))为对应于本原特征值λ0(T0−δ)>0的特征函数.假设α>0且满足α(ϕ(x),ϕ(x))≤(T∗(t,x),V(t,x)).从而,由比较原理可得2311∗λ0(T0−δ)(t−t1)(T(t,x),V(t,x))≥α(ϕ2(x),ϕ3(x)e,t≥t1,这蕴含着lim(T∗(t,x),V(t,x))=(+∞,+∞),矛盾.t→∞定义一个连续函数p:Y+→[0,∞]如下：+p(ϕ)=min{minϕ2(x),minϕ3(x)},ϕ∈Y.x∈Ωx∈Ω显然,p−1(0,∞)⊆X,并且p具有下面的性质：如果p(ϕ)=0且ϕ∈X或00p(ϕ)>0,那么p(Ψ(t)ϕ)>0.所以p是半流Ψ(t):Y+→Y+的一个广义距离函数[135].根据上面的讨论,我们可以推出Ψ(t)在M∂内的任意前向轨道都收敛到E,并且Ws(E)∩X=∅,其中Ws(E)是E的稳定子集.此外,E是Y+内的000000一个孤立不变集,且{E0}没有子集可以在∂X0内形成一个环.根据[135,定理3]可知,存在一个δ1>0使得对任意的ϕ∈X0都有min{p(ψ):ψ∈ω(ϕ)}>δ1.所以,∗liminfT(t,x,ϕ)≥δ1和liminfV(t,x,ϕ)≥δ1,∀ϕ∈X0.t→∞t→∞根据定理2.2.1的讨论,我们可以得到存在常数M>0和t2>0使得∗T(t,x,ϕ)≤M和V(t,x,ϕ)≤M,t≥t2,∀x∈Ω.22 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型从而,T(t,x)满足:Tt≥∇·(d1(x)∇T)+λ−(d+β1M+β2M)T,t≥t2,x∈Ω.所以,由比较原理和引理2.2.1可得liminft→∞T(t,x,ϕ)≥δ2:=λ/(d+β1M+β2M).令η:=min{δ1,δ2}.显然系统的一致持续性成立.由[94,定理4.7]可知系统(2.1)和(2.2)在X0内至少存在一个稳态.我们现在证明这些稳态都是正稳态.假设(ψ1,ψ2,ψ3)是X0内的一个稳态.那么ψ2̸≡0和ψ3̸≡0,所以由比较原理和Hopf边界引理可得ψ2>0和ψ3>0.注意到极大值原理也可确保ψ1>0或ψ1≡0.假设ψ1≡0,那么由系统(2.1)所对应的稳态系统的第二个方程和极大值原理可得ψ2≡0,矛盾.所以,(ψ1,ψ2,ψ3)是一个正稳态.2.2.2同质空间和异质扩散能力在这种条件下,显然系统(2.1)和(2.2)有一个无病毒稳态E0=(T0,0,0),其中T0=λ/d.我们首先证明系统的基本再生数为R0=(β1T0N+β2T0e)/er,这和ODE系统是一样的.下面的引理可以直接由[161,定理3.4]得到.引理2.2.4.假设系统(2.1)和(2.2)的所有参数除了扩散系数di(i=1,2,3)外都是同质的,那么系统的基本再生数为β1T0N+β2T0eR0=.er显然,当R>1时,系统(2.1)和(2.2)有一个正稳态E=(T,T∗,V),其01111中T=re/(βN+βe),T∗=(λ−dT)/r,V=NT∗/e.下面我们将给出这个1121111正稳态的全局吸引性.定理2.2.4.假设系统(2.1)和(2.2)的所有参数除了扩散系数di(i=1,2,3)外都是空间同质的.那么下面的结论成立.1.如果R<1,那么E在Y+内部全局渐近稳定；0023 西南大学博士学位论文2.如果R>1,那么E在Y+内部全局渐近稳定.01证明由定理2.2.2可知1的结论显然成立.∫假设R0>1.令Υ(t)=W(t,x)dx,其中ΩTT∗βVW=T−T−Tln+T∗−T∗−T∗ln+1T(V−V−Vln).11T11T∗e111V111那么∫[]∫T|∇T|2′1Υ(t)=d(T1−T)(1−)+f(t,x)dx−T1d1(x)2dxΩTΩT∫∫|∇T∗|2β|∇V|2∗1−T1d2(x)T∗2dx−eV1T1d3(x)V2dxΩΩ≤0,其中TT∗TVT∗VTTf(t,x)=βTV(3−1−1−1)+βTT∗(2−1−)≤0.111TTVT∗T∗V211TT1111显然,Υ′(t)=0当且仅当(T,T∗,V)=(T,T∗,V).所以,Υ(t)是一个李雅普诺111夫函数,即对所有t>0,都有Υ′(t)≤0.从而可由LaSalle不变集原理[67,定理4.3.4]得到结论2成立.注2.2.1.定理2.2.4意味着E1是系统(2.1)和(2.2)的唯一的正稳态,并且同质空间模型的全局动力学行为和ODE系统相同.实际上,如果我们考虑一个更一般的具有病毒吸收项和健康细胞功能性增长的同质空间模型,模型的最终性态与[120]中对应的ODE模型也相同.2.3行波解在这一节,我们研究系统(2.1)的行波解的存在性和最小波速.淋巴组织由1000−1200个大小在2−38mm之间的淋巴结构成[121],因而HIV和CD4T细胞的大小比淋巴组织小很多.所以,为了方便起见,我们假设空间域为R,且所有的参数都是空间同质的.根据章节2.2.2的分析,我们只需要考虑R0>1的情24 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型况.这一节研究的行波解是一类用来描述从一个稳态到另一个稳态的空间转换的特殊解.令(T(t,x),T∗(t,x),V(t,x))=(T(ξ),T∗(ξ),V(ξ)),其中ξ=x+ct.则系统(2.1)可以写成:∗d1Tξξ−cTξ+λ−dT−β1TV−β2TT=0,dT∗−cT∗+βTV+βTT∗−rT∗=0,(2.9)2ξξξ12∗d3Vξξ−cVξ+NT−eV=0.对系统(2.1),行波解应该满足系统(2.9)和下面的边界条件:∗∗lim(T(ξ),T(ξ),V(ξ))=E0,lim(T(ξ),T(ξ),V(ξ))=E1.ξ→−∞ξ→+∞易得,系统(2.9)在E0=(λ/d,0,0)的线性化系统为：∗d1Tξξ−cTξ−dT−β1T0V−β2T0T=0,dT∗−cT∗+βTV+βTT∗−rT∗=0,(2.10)2ξξξ1020∗d3Vξξ−cVξ+NT−eV=0.令(T(ξ),T∗(ξ),V(ξ))=eλξ(ζ,η,ψ),那么系统(2.10)等价于TTA(ζ,η,ψ)=cλ(ζ,η,ψ),(2.11)其中dλ2−d−βT−βT12010A=0dλ2−r+βTβT.220100Ndλ2−e3通过简单的计算可得A的特征值为√a+b+(a−b)2+4β1T0N2λ1(λ)=d1λ−d,λ2(λ)=,2√a+b−(a−b)2+4β1T0Nλ3(λ)=,2其中a=dλ2−r+βT,b=dλ2−e.最小波速定义如下：2203∗λ2(λ)c=inf:=inff(λ),λ>0λλ>025 西南大学博士学位论文其中√()(d+d)2+T−r−e+(d2−r+T−d2+e)2+4TN22320220310f()==:2当d2=d3时,显然√(√)c∗=2dc2+4βTN−(r+e−βT).211020设dλ2−r+βTβT22010A1=,Ndλ2−e3则|A−cλ|=P(λ)P(λ)−βTN,其中P(λ)=dλ2−cλ−r+βT,P(λ)=1121012202dλ2−cλ−e.3因为R0>1,所以λ2(0)>0显然成立.因此,当λ>0充分小时,λ2(λ)>λ2(0)/2>0,因而limλ→0f(λ)=+∞.易得limλ→+∞f(λ)=+∞.我们现在证明c∗是有意义的.引理2.3.1.下面的结论都成立.1.对所有的λ>0,都有f(λ)>0.2.对所有的λ>0都有λ′≥0,λ′′≥0.223.f′(λ)在λ>0时至多改变一次符号.4.存在唯一的λ∗>0使得c∗=f(λ∗).5.对每一个c>c∗,都存在λ>0,τ>1和正的特征向量ω=(ω,ω)T>0,cc1c2cω=(ω,ω)T>0使得τc1τc2τcf(λc)=c,f(τλc)0都有f(λ)>d2λ.26 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型证明(1)显然当β2T0−r−e≥0时,结论成立.我们现在假设β2T0−r−e<0,则对所有的λ≥λ−都有f(λ)>0,其中√λ−=−(β2T0−r−e)/(d2+d3).当λ<λ时,令g(λ)=(dλ2−r+βT)(dλ2−e).由于R>1,所以−22030g′(λ)=2λ(2ddλ2+d(−r+βT)−de),g(0)=−(βT−r)e<βTN.如果2332022010d(−r+βT)−de≥0,则对所有的λ>0都有g′(λ)>0,因而当λ∈(0,λ]3202−时g(λ)=g(λ)=−(dλ2−e)2≤0.如果d(−r+βT)−de<0,易得max−3−3202g(λ)在λ∈(0,λ+)上递减且在(λ+,∞)上递增,所以当λ∈(0,λ]时,g(λ)=−max√max(g(0),g(λ))<βTN,其中λ+=−(d(−r+βT)−de)/(2dd).因此,−10320223当λ∈(0,λ]时,g(λ)<βTN,因而(a−b)2+4βTN−(a+b)2>0,所以结−1010论成立.(2)通过直接计算可得√′(d2+d3)∆+(a−b)(d2−d3)λ2=λ√≥0.∆√∆[(d+d)∆+(d−d)(a−b)]+2(d−d)2λ2[∆−(a−b)2]′′232323λ=≥0,23∆2其中∆=(a−b)2+4βTN.10(3)因为f′(λ)=(λ′λ−λ)/λ2,(λ′λ−λ)′=λλ′′≥0,所以结论显然成立.22222(4)易得√((d+d)λ2+r+e−βT)∆+(d−d)2λ4−c2−4βTNf′(λ)=2320√23110,2λ2∆其中∆=(a−b)2+4βTN,c=r−e−βT.10120√令g(λ)=((d+d)λ2+r+e−βT)∆+(d−d)2λ4−c2−4βTN.因232023110为R0>1,所以√g(0)=(r+e−βT)c2+4βTN−c2−4βTN20110110√√=c2+4βTN(r+e−βT−c2+4βTN)<0.11020110易得limg(λ)→+∞,所以由结论3可知存在唯一的λ∗>0使得λ→∞g(λ∗)=0,因此f′(λ∗)=0.综合上述讨论可得：f(λ)在(0,λ∗]上递减,并在[λ∗,+∞)上递增.所以c∗=f(λ∗),其中λ∗是g(λ)=0的唯一正根.27 西南大学博士学位论文(5)显然λ2和λ3都是A1的特征值,且λ2是A1的本原特征值,所以λ2所对应的特征向量是正的.根据f(λ)的定义,这些结论可以直接从上述结果中得到.(6)对任意的λ>0,令h(λ)=f(λ)−d2λ,则h(λ)=h1(λ)/(2λ),其中√h(λ)=∆+(d−d)λ2+βT−r−e.因为R>1,132200√′2(d2−d3)λ(a−b−∆)h1(λ)=√≥0,∆所以对所有的λ>0都有h1(λ)>0,从而结论成立.下面,我们将讨论当c>c∗时,连接两个稳态E和E的行波解的存在性.01为了运用Schauder不动点定理,受[164]的启发,我们首先引进系统的上界解和下界解.令T=T,T=max{0,T−σeαξ},(T∗,V)T=ωeλcξ,(T∗,V)T=max{ωeλcξ00cc−qωeτλcξ,0},其中σ,α,q>0将在后边定义.τc引理2.3.2.对任意的ξ∈R,函数(T∗,V)满足0≥d2T∗ξξ−cT∗ξ+β1T0V+β2T0T∗−rT∗,0≥d3Vξξ−cVξ+NT∗−eV.证明因为(T∗,V)T=ωeλcξ,所以cd2T∗ξξ−cT∗ξ+β1T0V+β2T0T∗−rT∗L(T∗,V)=d3Vξξ−cVξ+NT∗−eVλcξ=e(A1−cλcI)ωc=0.因此,结论成立.引理2.3.3.如果0<αmax{T0,(β1T0ω2c+β2T0ω1c)/d}成立,则对所有ξ̸=(lnT0/σ)/α:=x0,函数T满足d1Tξξ−cTξ+λ−dT−β1TV−β2TT∗≥0,成立.28 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型证明当ξ>x0时,引理显然成立.现在,我们假设ξmax,()α,,ω2τcω2τcαω1τc(cτλc−d2(τλc)2−β2T0+r)−β1T0ω2τc则x2<(lnT0/σ)/α=x0.当ξ>x1时,第一个不等式显然成立,且当ξ>x2时第二个不等式也成立.如果x≤ξ0,T=122c2τcT−σeαξ>0.因为A(τλ)ω−Nω1ce+qeNω1τc≥0.如果ξ0,V=ωeλcξ−qωeτλcξ>0,11c1τc2c2τcT=T−σeαξ>0.因为1<τ<1+α/λ且ξ<0,所以0c∗∗∗∗d2Tξξ−cTξ+β1TV+β2TT−rTτλcξ2=qe[cτλcω1τc−d2(τλc)ω1τc−β2T0ω1τc+rω1τc−β1T0ω2τc]αξλcξτλcξαξλcξτλcξ−β1σe(ω2ce−qω2τce)−β2σe(ω1ce−qω1τce)≥0.29 西南大学博士学位论文关于V的不等式也可以类似得到.我们现在考虑一个截断问题(truncatedproblem),然后通过极限讨论建立系统(2.9)的连接E0的半行波解的存在性.假设c>c∗,l>max{−x}.考虑下面的截断问题:i=0,1,2i∗d1Tξξ−cTξ+λ−dT−β1TV−β2TT=0,ξ∈(−l,l),dT∗−cT∗+βTV+βTT∗−rT∗=0,ξ∈(−l,l),2ξξξ12(2.12)∗d3Vξξ−cVξ+NT−eV=0,ξ∈(−l,l),T(ξ)=T(ξ),T∗(ξ)=T∗(ξ),V(ξ)=V(ξ),ξ∈{−l,l}.令Il=[−l,l],X=C(Il)×C(Il)×C(Il),Λ={(T,T∗,V)∈X:在I上T≤T≤T,T∗≤T∗≤T∗,V≤V≤V}.l0显然,Λ是X内的闭凸集,其范数定义为∥(T,T∗,V)∥=∥T∥+∥T∗∥+XC(Il)C(Il)∥V∥C(Il).易得,对任意的(T,T∗,V)∈Λ,都有T≥0,T∗≥0,V≥0.定义F:Λ→X为F(ϕ0,φ0,ψ0)=(ϕ,φ,ψ),其中(ϕ,φ,ψ)是下面问题的解:d1ϕξξ−cϕξ+λ−dϕ−β1ϕψ0−β2ϕφ0=0,ξ∈(−l,l),d2φξξ−cφξ+β1ϕ0ψ0+β2ϕ0φ0−rφ=0,ξ∈(−l,l),(2.13)d3ψξξ−cψξ+Nφ0−eψ=0,ξ∈(−l,l),ϕ(ξ)=T(ξ),φ(ξ)=T∗(ξ),ψ(ξ)=V(ξ),ξ∈{−l,l}.引理2.3.5.对任意的(ϕ0,φ0,ψ0)∈Λ,问题(2.13)存在唯一解.此外,F(Λ)⊂Λ.证明因为系统(2.13)不是一个耦合系统,并且(2.13)中的三个方程都是非齐次线性方程,所以系统(2.13)的解的存在唯一性可以通过[64,12章中定理3.1]得到.30 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型把系统(2.13)对应于初值(ϕ0,φ0,ψ0)∈Λ的解记为(ϕ,φ,ψ).因为l>maxi=0,1,2{−xi},所以由系统(2.13)的第二个方程可得对ξ∈(−l,l)有dφ−cφ−rφ=−βϕφ−βϕψ≤0,且φ(l)=0,φ(−l)=T∗(−l)>0.2ξξξ200100从而由极大值原理可知对所有的ξ∈(−l,l),都有φ(ξ)>0.通过类似的讨论,易得对所有的ξ∈(−l,l),都有ϕ(ξ)>0,ψ(ξ)>0.因为(ϕ0,φ0,ψ0)∈Λ,所以由(2.13)的第二个方程可知对任意的ξ∈(−l,l),都有d2φξξ−cφξ+β1T0V+β2T0T∗−rφ≥0,∗d2φξξ−cφξ+β1TV+β2TT−rφ≤0,令w=T∗−φ,则由引理2.3.2可得对任意的ξ∈(−l,l),d2wξξ−cwξ−rw≤0.注意到w(±l)>0,从而由极大值原理可得对所有的ξ∈Il,都有w≥0.因此对所有ξ∈I有φ≤T∗.令w′=φ−T∗,则由引理2.3.4可得对所有ξ∈(−l,x)l1都有dw′−cw′−rw′≤0,且w′(−l)=0,w′(x)=φ(x)>0.从而由极大值2ξξξ11原理可知对所有的x∈[−l,x]都有w′≥0.因为当x>x时T∗=0,因此对所11有的ξ∈I都有φ≥T∗.所以对任意的ξ∈I,φ∈[T∗,T∗].ll通过类似于上面的讨论并利用引理2.3.2,2.3.3和2.3.4,我们可以推出对所有的x∈Il都有ϕ∈[T,T0],ψ∈[V,V].证毕.考虑下面的非齐次线性方程:wξξ+Awξ+f(ξ)w(ξ)=h(ξ).(2.14)引理2.3.6.[45,引理3.2]假设A是正常数,并令f和h为[a,b]上的连续函数.假设w∈C[a,b]∩C2(a,b)在(a,b)内满足微分方程(2.14)且w(a)=w(b)=0.如果存在一些常数C1,C2使得在[a,b]上有−C1≤f≤0,|h|≤C2,则存在依赖于A,C1和[a,b]区间长度的正常数C3使得∥w∥C([a,b])≤C2C3.31 西南大学博士学位论文引理2.3.7.[45,引理3.3]假设A,f和h与引理2.3.6相同.假设w∈C[a,b]∩C2(a,b)在(a,b)内满足方程(2.14).如果存在常数C使得∥w∥≤0C([a,b])C0,则存在仅依赖于A,C0,C1,C2和[a,b]区间长度的正常数C4,使得∥wξ∥C([a,b])≤C4.注2.3.1.如果[a,b]=[−l,l]且l>0,显然上面的两个引理当A<0时也成立.引理2.3.8.F是连续映射.证明假设(ϕ,φ,ψ)∈Λ,(ϕ′,φ′,ψ′)∈Λ,且令000000′′′′′′(ϕ,φ,ψ)=F(ϕ0,φ0,ψ0),(ϕ,φ,ψ)=F(ϕ0,φ0,ψ0).设w=ϕ−ϕ′,则w(±l)=0且满足:cwξξ−wξ+f(ξ)w(ξ)=h(ξ),x∈(−l,l),d1其中1′′ϕ′′f=−(d+β1ψ0+β2φ0),h=[β1(ψ0−ψ0)+β2(φ0−φ0)].d1d1所以,在[-l,l]上,′′−C1≤f≤0,|h|≤C2[∥ψ0−ψ0∥C(Il)+∥φ0−φ0∥C(Il)],其中C=(d+βωeλcl+βωeλcl)/d,C=T(β+β)/d.从而由引理2.3.6112c21c120121和注2.3.1可得存在依赖于C1,c,d1和l的常数C3,使得′′′∥w∥C(Il)=∥ϕ−ϕ∥C(Il)≤C2C3[∥ψ0−ψ0∥C(Il)+∥φ0−φ0∥C(Il)].通过类似的方法,我们可以得到存在依赖于c,d,r,β,β,ω,ω,eλcl和2121c2cT0的常数C4>0使得′′′′∥φ−φ∥C(Il)≤C4[∥ψ0−ψ0∥C(Il)+∥ϕ0−ϕ0∥C(Il)+∥φ0−φ0∥C(Il)];32 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型存在依赖于c,d3,e和N的常数C5>0使得′′∥ψ−ψ∥C(Il)≤C5∥φ0−φ0∥C(Il).综合上述结论,显然′′′∥F(ϕ0,φ0,ψ0)−F(ϕ0,φ0,ψ0)∥C(Il)′′′≤C6[∥ψ0−ψ0∥C(Il)+∥ϕ0−ϕ0∥C(Il)+∥φ0−φ0∥C(Il)]′′′=C6∥(ϕ0,φ0,ψ0)−(ϕ0,φ0,ψ0)∥C(Il),其中C6=C2C3+C4+C5,所以结论成立.通过类似于[46,引理2.7]的讨论并应用引理2.3.7,我们可以得到F是预紧的.从而可以用Schauder不动点定理来建立下面的引理.引理2.3.9.系统(2.12)在I上有解(T,T∗,V)∈Λ.l定理2.3.1.当c>c∗时,系统(2.9)存在满足下面条件的解(T(ξ),T∗(ξ),V(ξ))：(T(−∞),T∗(−∞),V(−∞))=(T,0,0)；对任意的ξ∈R,有00,V(ξ)>0.此外,当ξ→−∞时，T∗(ξ)=O(eλcξ),V(ξ)=O(eλcξ),且T(−∞)=T∗(−∞)=V(−∞)=0.ξξξ证明令{ln}n∈N为一递增序列,满足：l1>maxi=0,1,2{−xi},且当n→+∞时l→+∞.当系统(2.12)中l=l时,记(T,T∗,V)为系统(2.12)由引理2.3.9nnnnn所得到的解.显然对任意的整数N,{(T,T∗,V)}在[−l,l]上一致有0nnnn≥N0N0N0界.从而由引理2.3.7可得{(T,T∗,V)}在[−l,l]上一致有界.所以nξnξnξn≥N0N0N0(2.12)的方程蕴含着{(T,T∗,V)}在[−l,l]上一致有界.同时,我nξξnξξnξξn≥N0N0N0们也可得到{(T,T∗,V)}在[−l,l]上一致有界.所以,由Arzela-nξξξnξξξnξξξn≥N0N0N0Ascoli定理可知存在一个子列{(T,T∗,V)}使得(T,T∗,V)→(T,T∗,V),nknknknknknk∗∗∗∗(Tnkξ,Tnkξ,Vnkξ)→(Tξ,Tξ,Vξ),(Tnkξξ,Tnkξξ,Vnkξξ)→(Tξξ,Tξξ,Vξξ),其中收敛性当k→+∞时在R的任意紧区间上一致,这里T,T∗,V∈C2(R).显然(T,T∗,V)是系统(2.9)的解且满足T≤T≤T,T∗≤T∗≤T∗,V≤V≤33 西南大学博士学位论文V.因此,(T(−∞),T∗(−∞),V(−∞))=(T,0,0),且当ξ→−∞时,T∗(ξ)=0O(eλcξ),V(ξ)=O(eλcξ).假设存在ξ1使得T(ξ1)=0,则由T(ξ)≥0可得Tξ(ξ1)=0和Tξξ(ξ1)≥0.但是(2.9)的第一个方程暗示了d1Tξξ(ξ1)=−λ<0,矛盾.所以,对所有的ξ∈R有T(ξ)>0.假设存在ξ2使得V(ξ2)=0,则V(ξ)≥0暗示了Vξ(ξ2)=0,Vξξ(ξ2)≥0.从而由(2.9)的第三个方程可得dV(ξ)=−NT∗(ξ)≤0,这暗示了T∗(ξ)=0.3ξξ222所以,T∗(ξ)=0.令u=T,u=T,u=T∗,u=T∗,u=V,u=V,则行ξ212ξ34ξ56ξ波解问题(2.9)可以写成：u′=u2,1du′=cu−λ+du+βuu+βuu,1221115213′u3=u4,(2.15)′d2u4=cu4−β1u1u5−β2u1u3+ru3,u′=u,56′d3u6=cu6−Nu3+eu5.易得Λ1={(u1,u2,0,0,0,0):u1∈R,u2∈R}是系统(2.15)的不变集.显然,(u1(ξ2),u2(ξ2),u3(ξ2),u4(ξ2),u5(ξ2),u6(ξ2))∈Λ1,从而对任意的ξ∈R有T∗(ξ)=V(ξ)≡0,矛盾.所以,对所有的ξ∈R有V(ξ)>0.类似地,我们可以得到对任意的ξ∈R有T∗(ξ)>0.现在,我们证明T0使得T(ξ3)=T0,则Tξ(ξ3)=0且Tξξ(ξ3)≤0.所以,由(2.9)的第一个方程可得d1Tξξ(ξ3)=βTV(ξ)+βTT∗(ξ)>0,矛盾.因此,对所有的ξ∈R有T(ξ)0为方程dλ2−cλ−r=0的两个根,ρ=d(λ−λ).21222222221记λ<0,λ>0为方程dλ2−cλ−e=0的两个根,ρ=d(λ−λ).31323333231引理2.3.10.当c>c∗时,max{λ,λ}<λ0和d3>0,所以结论明显成立.考虑系统(2.15),并令(u∗,u∗,u∗)=(T,T∗,V).定义135111∗∫u1d1u2u1∗1L1=cu1−d1u2+−cu1du,u1u∗u1∗∫u3d2u4u3∗1L2=cu3−d2u4+−cu3du,u3u∗u3∗∫u5d3u6u5∗1L3=cu5−d3u6+−cu5du.u5u∗u5令L=L+L+βu∗L/e,则L沿着系统(2.15)的解的导数满足12113u∗u∗u∗uuuu∗L′=d(u∗−u)(1−1)+βu∗u∗(3−1−315−35)11u115uu∗u∗uu∗u1115335u∗udu2u∗du2u∗du2u∗βu∗+βu∗u∗(2−1−1)−121−243−36511≤0.(2.16)213uu∗u2u2u2e11135引理2.3.11.对任意的c>c∗,记T,T∗,V为系统(2.9)在定理2.3.1中得到的对应于c的解.假设存在a(c)>0,b(c)>0使得对任意的ξ∈R有T∗(ξ)0,l>0和l>0使得对任意的s≥0123有∗∗|Tξ(s)|0使得|Tξ(0)|0使得Φ1(s1)=0且Φ1ξ(s1)≥0,即Tξ(s1)=l1T(s1)且Tξξ(s1)≥l1Tξ(s1).所以,由(2.9)的第一个方程可知∗0=d1Tξξ(s1)−cTξ(s1)+λ−dT(s1)−β1T(s1)V(s1)−β2T(s1)T(s1)2>(d1l1−cl1−β1b−β2a)T(s1)≥0,矛盾.因此,对所有的s≥0,Tξ(s)0.我们现在证明对所有s≥0有Φ2(s)>0.用反证法.假设存在s2>0使得Φ2(s2)=0且Φ2ξ(s2)≤0.可以分成两种情况讨论:对所有的s≥s2有Φ2(s)≤0和存在s3>s2使得Φ2(s3)=0且Φ2ξ(s3)≥0.对于第一种情况,由(2.9)的第一个方程可知对所有的s≥s2,∗d1Tξξ(s)=cTξ(s)−λ+dT(s)+β1T(s)V(s)+β2T(s)T(s)<(−cl1+β1b(c)+β2a(c))T(s)≤0.所以,对所有的s≥s2有Tξ(s)0.从而由(2.9)的第一个方程可得∗0=d1Tξξ(s3)−cTξ(s3)+λ−dT(s3)−β1T(s3)V(s3)−β2T(s3)T(s3)>(cl1−β1b(c)−β2a(c))T(s3)≥0,矛盾.所以,对所有的s≥0有Tξ(s)>−l1T(s).别的结论也可以通过类似的方法得到.引理2.3.12.假设d≤d.对任意的c>c∗,记T,T∗,V为系统(2.9)在定23理2.3.1中得到的对应于c的解,则存在a(c)>0,b(c)>0使得对所有的ξ∈R有T∗(ξ)W1(ξ)>0；当ξ→+∞时(W1(ξ),Z1(ξ))→0；当ξ→−∞时(W1(ξ),Z1(ξ))→+∞.定义σ:[0,+∞)→[0,+∞)为−1σ(0)=0;σ(W)=Z1(W1(W))当W>0时,其中W−1:(0,+∞)→R是W的逆.则对W>0,l∗:Z=σ(W)是11{(W1(ξ),Z1(ξ)):ξ∈R}的轨道.易得σ(W)满足：当W>0时σ(W)>W；σ(W)单调递增；当W→0时σ(W)→0且当W→+∞时σ(W)→+∞.如果存在ξ∈R使得(W(ξ),Z(ξ))∈l∗,则由比较原理可得对所有的000ξ≥ξ0有Z(ξ)≥Z1(ξ)=σ(W1(ξ))>W(ξ)和W(ξ)≤W1(ξ),这暗示了W(ξ)在(ξ0,+∞)上单调递减.所以对所有的ξ≥ξ0有W(ξ)≤W(ξ0)且当ξ→+∞时W(ξ)→0,从而可以得到对所有的ξ∈R有W(ξ)≤a(c):=ωeλcξ0.如果11c对所有的ξ∈R,(W(ξ),Z(ξ))都在l∗的上方,显然上面的结论成立且对任意的ξ∈R有W(ξ)≤a(c):=ωeλcξ0.011c37 西南大学博士学位论文由于V(−∞)=0,T∗(ξ)≤ωeλcξ,所以由(2.9)的第三个方程和引理2.3.101c可得对任意的ξ∈R:(∫∫)ξ+∞1λ31(ξ−t)∗λ32(ξ−t)∗V(ξ)=eNT(t)dt+eNT(t)dtρ3−∞ξ(∫∫)ξ+∞Na1(c)λ31(ξ−t)λ32(ξ−t)≤edt+edtρ3−∞ξNa1(c)=:=b1(c).(2.19)e所以,根据引理2.3.11,我们可以推出存在l1>0,l2>0,和l3>0使得对任意的s≥0有|T(s)|ξ∗10010使得T(ξ)+Y(ξ)=H1,并记第一次时间为ξ1,则Tξ(ξ1)+Yξ(ξ1)≥0.然而,c1Tξ(ξ1)+Yξ(ξ1)=(T(ξ1)−Y(ξ1))+(λ−dT(ξ1)d1c∗−β1T(ξ1)V(ξ1)−β2T(ξ1)T(ξ1))c1≤(2T(ξ1)−H1)+λ<0,d1c矛盾.所以,T(ξ)+Y(ξ)0,因此对所有的ξ∈R都有Y(ξ)0,d1c这意味着对所有的ξ>ξ3都有T(ξ)−Y(ξ)>H1.由于Tξ=c(T(ξ)−Y(ξ))/d1,所以T(ξ)→+∞,矛盾.因此,对所有的ξ∈R有T(ξ)−Y(ξ)−H1.结论3.对所有的ξ∈R有Z(ξ)≤H2:=2H1+r1(c),其中r1(c)>0满足对所有的W≥r(c)有σ−1(W)>λ/r.1r1(c)的存在性可以由σ(W)的定义得到.由于Z(−∞)=0,所以存在ξ4∈R使得对所有的ξ<ξ4有Z(ξ)+Y(ξ)λ/r,从而1Zξ(ξ5)+Yξ(ξ5)=(λ−dT(ξ5)−rW(ξ5))<0,c矛盾.所以对任意的ξ∈R有Z(ξ)d2λc.显然这个结论当ξ很小的时候成立.反证法.假设存在t1∈R使得W(t1)=2H2.由(2.17)的第三个方程和结论3可得对所有的ξ≥t1有Wξ(ξ)≥cH2/d2,从而当ξ→+∞时W(ξ)→+∞.所以存在t2>t1使得对任意的ξ≥t2有rW(ξ)>λ+c.因此λ−dT−rWYξ(ξ)+Zξ(ξ)=≤−1,ξ>t2,c从而由结论2可以推得limξ→+∞Z(ξ)=−∞.所以,存在t3>t2使得对任意的ξ≥t3有Z(ξ)≤−1/c.因此,对任意的ξ≥t3,有()∗c(ξ−t3)∗11T(ξ)≥ed2T(t)+−,3cc39 西南大学博士学位论文这与对任意的ξ∈R,T∗(ξ)≤ωeλcξ成立相矛盾(因为c/d>λ).所以这个结1c2c论成立.通过类似于(2.19)的计算,我们可以得到V(ξ)c∗的情况.我们只需要证明(T(+∞),T∗(+∞),V(+∞))=(T,T∗,V),其中(T,T∗,V)是定理2.3.1中所得到的解.由引理2.3.11和引理1112.3.12可知存在a(c)>0,b(c)>0,和l1>0,l2>0,l3>0使得对任意的ξ∈R都有T∗(ξ)−ra∗/c∗.11020i10202i则a∗a∗,则对所有的ξ≥s有T∗(ξ)≥a∗,这暗示了T∗→+∞,矛盾.所iξ111iξ1i以,对所有的ξ∈R有T∗(ξ)≤a∗.通过类似的方法,我们可以得到对所有的iξ1ξ∈R都有T∗(ξ)≥a∗,这就意味着{T∗}是一致有界的.类似地,我们可以得iξ2iξ到{Tiξ}和{Viξ}也是一致有界的.所以,{Ψiξ}一致有界.由于{Ψi}是系统(2.9)当c=ci时的解,所以{Ψiξξ}和{Ψiξξξ}也一致有界.从而由Arzela-Ascoli定理可知存在一个子列{c}使得(T,T∗,V)→(T,T∗,V),ikikikik∗∗∗∗(Tikξ,Tikξ,Vikξ)→(Tξ,Tξ,Vξ),(Tikξξ,Tikξξ,Vikξξ)→(Tξξ,Tξξ,Vξξ),其中收敛性当i→+∞时在R的任意紧区间上一致,这里T,T∗,V∈C2(R).k显然(T,T∗,V)是系统(2.9)的非负解且满足0≤T≤T,0≤T∗≤a∗,0≤0V≤b∗.通过标准的计算,易得当c>0时,特征值问题|A1−cλ|=0并不存在具有零实部的特征根.所以(T0,0,0,0,0,0)是(2.15)的双曲平衡点.我们现在证明前面得到的(T,T∗,V)是一个连接E=(T,0,0)和E=(T,T∗,V)的正001111解.为简单起见,我们分别记{c}和(T,T∗,V)为{c}和(T,T∗,V).假设ikikikikiiii当i→+∞时,∗sup(T0−Ti(ξ))→0,supTi(ξ)→0,supVi(ξ)→0.(2.20)ξ∈Rξ∈Rξ∈R从而由Hartman-Grobman定理[119,173]可知对于i充分大,当ξ→+∞时(T(ξ),T∗(ξ),V(ξ))→(T,0,0),这与(T(+∞),T∗(+∞),V(+∞))=(T,T∗,V)iii0iii111矛盾.所以,(2.20)中的三个极限之一不成立.因此,我们可以假设对于固定的充分小的ϵ>0,下面三个不等式之一成立(必要时取一子列)：∗sup(T0−Ti(ξ))>ϵ,supTi(ξ)>ϵ,supVi(ξ)>ϵ.ξ∈Rξ∈Rξ∈R41 西南大学博士学位论文因为(T(−∞),T∗(−∞),V(−∞))=E(T,0,0),所以我们可以通过一个转换而iii00假设∗T0−ϵ≤Ti(ξ)≤T0,Ti(ξ)≤ϵ,Vi(ξ)≤ϵ,ξ≤0成立,并且下面三个之一成立：∗Ti(0)=T0−ϵ,Ti(0)=ϵ,V(0)=ϵ.因此,由(T,T∗,V)的定义可得∗T0−ϵ≤T(ξ)≤T0,T(ξ)≤ϵ,V(ξ)≤ϵ,ξ≤0,且下面三个之一成立：∗T(0)=T0−ϵ,T(0)=ϵ,V(0)=ϵ.令ϵ充分小,则由Hartman-Grobman定理可得(T(−∞),T∗(−∞),V(−∞))=E0=(T0,0,0).由类似于定理2.3.1的讨论可得对所有ξ∈R有T(ξ)>0.我们现在证明对所有ξ∈R,都有T∗(ξ)>0和V(ξ)>0.我们首先考虑T(0)=T−ϵ的情0况.假设存在s2∈R使得V(s2)=0.则由类似于定理2.3.1的讨论可知对所有ξ∈R有T∗(ξ)=V(ξ)≡0.所以,T(ξ)满足d1Tξξ−cTξ+λ−dT=0,ξ∈R,当ξ≤0时T0−ϵ≤T(ξ)≤T0和T(0)=T0−ϵ.显然Tξ(0)≤0.因为T≤T0,所以1dTξξ(0)=(cTξ(0)−λ+dT(0))≤−ϵ<0,d1d1()−cξ1−cξed1T=ed1(dT(ξ)−λ)≤0,ξ∈R.ξξd1因此,存在充分小的s3>0使得Tξ(s3)<0,并且对s>s3有Tξ(s)≤ec(s−s3)/d1T(s),这暗示了当s→+∞时T(s)→−∞.所以,当ξ充分大时ξ3ξT(ξ)<0,矛盾.因此,对所有的ξ∈R有V(ξ)>0.同样地,我们可以得到对所有的ξ∈R有T∗(ξ)>0.接下来,我们考虑T∗(0)=ϵ的情况.假设存在s∈R4使得T∗(s)=0.则通过类似于定理2.3.1中的讨论易得T∗(ξ)=V(ξ)≡0,这442 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型与T∗(0)=ϵ>0矛盾.所以,对所有的ξ∈R都有T∗(ξ)>0.V(ξ)的正性也可类似地得到.最后,当V(0)=ϵ时,通过类似于上面的讨论易得(T,T∗,V)是一个正解.所以,(T,T∗,V)是一个正解.由(T,T∗,V)的正性和定理2.3.1中的类似讨论,易得T(ξ)c∗的讨论,我们可0以得到(T(+∞),T∗(+∞),V(+∞))=(T,T∗,V).证毕.111我们现在讨论当00使得|A1−cλ|λ′=P1(λ)P2(λ)−β1T0N=0,P(λ′)<0,P(λ′)<0.因为cP1(λ)=a−cλ>,2√b−a−(a−b)2+4β1T0N′′0>P2(λ)=b−cλ>.2所以√√a−b−(a−b)2+4β1T0Nb−a−(a−b)2+4β1T0N′′P1(λ)P2(λ)<·22=β1T0N,这与|A1−cλ|λ′=0矛盾.43 西南大学博士学位论文定理2.3.3.假设R>1和00使得∗−αξ−αξsup{T(ξ)e}<+∞,sup{V(ξ)e}<+∞,ξ≤0ξ≤0∗−αξ−αξsup{Tξ(ξ)e}<+∞,sup{Vξ(ξ)e}<+∞,ξ≤0ξ≤0∗−αξ−αξsup{Tξξ(ξ)e}<+∞,sup{Vξξ(ξ)e}<+∞,ξ≤0ξ≤0这个过程是标准的,在这里我们不再重复.通过类似于定理2.3.1中的讨论易得lims→−∞Tξ(s)=0.将(2.9)的第一个方程从−∞到ξ积分可得d1Tξ(ξ)−c(T(ξ)−T0)=g1(ξ),∫ξ其中g(ξ)=[−d(T−T(t))+βT(t)V(t)+βT(t)T∗(t)]dt.令Tb(ξ)=1−∞012T0−T(ξ),则Tb(ξ)满足−d1Tbξ(ξ)+cTb(ξ)=g1(ξ).因为对所有的ξ∈R有T(ξ)0,使得对ξ≤0有g(ξ)≤Ceαξ,ξ≤02αξα′ξ且当ξ→−∞时g2(ξ)=o(e2).因此当ξ→−∞时Tb(ξ)=o(e),其中α′=min{α/4,c/(2d)}.所以,sup{(T−T(ξ))e−α′ξ}<+∞.1ξ≤0044 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型定义负的单边拉普拉斯变换如下[175]:∫0−λξJϕ(λ)=eϕ(ξ)dξ,λ≥0,ϕ(ξ)≥0.−∞++显然,Jϕ(λ)定义在[0,λϕ),其中λϕ≤+∞且满足limλ→λ+Jϕ(λ)=+∞或ϕλ+=+∞.所以λ++≥α,λ+≥λ+′和λ+≥λ++α′.ϕT∗≥α,λVT∗(T0−T)T∗+αV(T0−T)V考虑下面的系统:∗∗∗∗d2Tξξ−cTξ+β1TV+β2TT−rT=0,∗d3Vξξ−cVξ+NT−eV=0.通过对上面系统进行负的单边拉普拉斯变换,可以得到P1(λ)JT∗=−β1T0JV+h1,(2.21)P2(λ)JV=−NJT∗+h2,∗∗其中h1=J(β1V+β2T∗)(T0−T)+(c−d2λ)T(0)−d2Tξ(0),h2=(c−d3λ)V(0)−d3Vξ(0).++我们现在证明λT∗=λV<+∞.由(2.21)的第一个方程可得2∗∗∆1(λ):=(d2λ−cλ−r)JT∗+Jβ1TV+β2TT∗−(c−d2λ)T(0)+d2Tξ(0)=0.++假设λT∗=+∞.因为当λ∈[0,λT∗)时JT∗>0和Jβ1TV+β2TT∗>0,所以+∆1(+∞)=+∞,矛盾.通过类似的方法,我们也可以得到λV<+∞.假设++λT∗<λV<+∞,则limλ→λ+JT∗=+∞且limλ→λ+JV<+∞,这与(2.21)的T∗T∗++++第二个方程矛盾.所以,λT∗≥λV.同样地,我们也可以得到λT∗≤λV.所以,λ++=λ+<+∞.T∗=λV假设P(λ+)≥0,则对λ=λ+,我们可以得到1∗∗+∞=(P1(λ)JT∗+β1T0JV)|λ+>(J(β1V+β2T∗)(T0−T)+(c−d2λ)T(0)−d2Tξ(0))|λ+,这与(2.21)的第一个方程矛盾.因此P(λ+)<0.通过类似的讨论,我们也能得1到P(λ+)<0.2将(2.21)的第一个方程和第二个方程相乘可得(P1(λ)P2(λ)−β1T0N)JT∗JV=−Nh1JT∗−β1T0h2JV+h1h2.45 西南大学博士学位论文所以由h(λ+)<+∞(i=1,2)可得i++−Nh1JT∗−β1T0h2JV+h1h2P1(λ)P2(λ)−β1T0N=lim=0.λ→λ+JT∗JV因此,存在λ+>0使得P(λ+)<0(i=1,2)且满足|A−cλ+|=0,这与引理i14.17矛盾.证毕.2.4数值模拟这一节,我们通过主要数值模拟研究空间异质性和细胞或病毒粒子的移动能力对病毒传播的影响.模型(2.1)中参数的均值见表2.1.记a(x)在Ω上的均值为ea,其中a=λ,β1,β2,d1,d2,d3,d,r,e,N.现在,我们给出参数值的详细解释.虽然在许多文献或实验中模型(2.1)中的参数的估计值都是定值且与空间无关,但这些定值可能反映了这些因素在宿主体内的平均程度.所以我们将采用这些值作为模型(2.1)中参数的均值.参数λ,ed,er,ee和Ne的值见表2.1.通过实验-数学研究,Iwami等[74]发现超过一半的感染是由细胞-细胞传播造成的.Komarova等[81]得到在自由病毒动态满足拟稳态假设的条件下,自由病毒传播和细胞-细胞传播的比率平均为1.0,这意味着我们应该假设βe1N/ee和βe2具有相同的阶数.注意到HIV的基本再生数的估计值在8到10之间,所以我们假设βe=1.2×10−10mlvirions−1cells−1day−1,1βe=4.5×10−8mlcells−1cells−1day−1,这种取法使得当所有参数都取表2.1中2的均值时R0=8.5.根据表2.1中参数的单位,我们发现参数βe1,βe2和λe都是基于体积的.为了使它们适用于一维区域且恒定,同时为了简化,我们假设区域是一个具有1mm×1mm横截面积的细线且Ω=(0,2).体内的实际环境非常复杂而很难精确的表示环境的异质性.因为淋巴组织是由淋巴结构成的,所以为了方便起见,在下面的模拟中采取类似于[3,89]的方法,我们令环境是周期的且取振幅作为异质性参数.未感染细胞的扩散系数采取文献[100]中的如下de=67µm2min−1=0.09648mm2day−1.146 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型(a)(b)图2.1V(t,x)关于不同R0的动态.(a)R0≈1.8638>1.(b)R0≈0.8728<1因为感染细胞比未感染细胞移动的慢,所以我们假设de=0.05mm2day−1.2注意到病毒粒子的扩散系数与文献[5,127,140]中的类似,所以我们取[140]中的系数作为病毒的扩散系数：de=1.7×10−3cm2day−1=0.17mm2day−1.3在HIV的治疗中,逆转录酶抑制剂和蛋白酶抑制剂经常分别用来阻止从HIVRNA合成病毒DNA和导致感染细胞产生的病毒不能成熟.一些研究[1,95]也显示抗逆转录病毒治疗和一些广泛中和抗体可能有效的阻止细胞-细胞传播.所以如果对病人采取上述治疗措施时,我们可以假设自由病毒和感染细胞的感染速率、感染细胞产生病毒的速率应该降低.现在,令β1(x)=0.3×βe1(1+0.5cos(πx)),β2(x)=0.3×βe2(1+0.5cos(πx)),N(x)=0.3Ne,并固定别的参数为表2.1中的均值.则R≈1.8638且病毒是持续的(图2.1(a)其中T0(x)=5.0×107,0T∗0(x)=0,V0(0)=25,当x∈(0,2]时V0(x)=0).当x∈(0,2)时,令β(x)=0.1×βe(1+0.5cos(πx)),V0(x)=200×(1+0.5cos(πx)),且其余参数22的值与图2.1(a)相同,则R0≈0.8728且病毒灭绝(图2.1(b)).显然HIV的传播风险随R0的增大而递增.我们现在考虑空间异质性对代表传播风险的R0的影响.令β2(x)=0.1×βe2,N(x)=0.3Ne,β1变化且别的参数固定为表2.1中的均值,则当β1(x)=0.3×βe1(1.3+ksin(mπx))时,R0随着空间异质性参数k的增加而递增(图2.2(a)),这意味着如果我们平均自由病毒的感47 西南大学博士学位论文染能力会导致感染风险被低估,并且感染风险随着病毒感染能力异质性的增加而递增.然而,当β1(x)=0.3×βe1(1.3+kcos(mπx))时,异质性对R0的影响是复杂的:在一些情况下R0随着k的增加而递减(m=3,k<0.7),但在某些情况下它又随着k的增加而递增(图2.2(b))(实际上,通过类似的模拟易知当m=1时R0随着k的增加而递增).所有这些模拟都显示R0是m的减函数,这暗示了空间的碎片化对病毒是不利的.通过类似的方法,我们也可得到细胞-细胞感染能力β2的异质性对R0的影响,其影响和β1的类似.令β1(x)=0.3×βe1,β2(x)=0.1×βe2,N(x)变化且别的参数固定为表2.1中的均值.则当N(x)=0.3×Ne(1.3+ksin(mπx))时,R0随着k的增加而递减(图2.2(c)),而当N(x)=0.3×Ne(1.3+kcos(mπx))时,R0随着k的增加而递增(图2.2(d)).其余参数的异质性对传播风险R0的影响也可类似的得到.下面,我们主要讨论细胞或病毒的移动性对传播风险R和最小波速c∗的0影响.根据T0和R0的定义可知：在同质环境中,基本再生数R0与细胞和病毒粒子的扩散能力无关；当未感染细胞的注入速率和死亡速率都是同质时,R0也与未感染细胞的扩散能力无关.所以我们在研究细胞或病毒粒子的移动性的影响时应移除这些假设.由于细胞和病毒粒子的移动性的异质性的影响充分小(Fig.2.2(e)),所以后面我们假设它们的扩散能力是同质的.令d3=kde3且别的参数与图2.2(e)相同,则R0随着k的增加而递减(图2.3(a)),当k→+∞时R0→2.2239.图2.3(c)显示当d1=kde1,λ(x)=λe(1+0.9cos(5πx)),d3=de3且别的参数与图2.2(e)相同时,R0随着k的增加而递减.为了简化,我们假设β2(x)=β(x)/(a1+a2d2),其中a1,a2>0.图2.3(b)表明当d2=kde2,a1=1,β=0.3βe2×(1.3+0.5cos(5πx)),d3=de3且别的参数与图2.3(a)相同时,R0也随着k的增加而递减.比较图2.3(a)和图2.3(b),我们发现如果忽略感染细胞的移动性(尤其是当a2足够大时)传播风险被高估了,并且R0对感染细胞移动的敏感性比对病毒的高.我们现在研究d对最小波速c∗的影响,这个最小波速可能是病毒传播的渐2近速度.假设a1=1,β=βe2且别的参数取表2.1中对应的均值,图2.3(d)显示了对于不同的a,c∗关于d的依赖性.它表明d对c∗有不同的影响,尤其是当22248 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型1.040.9215m=1m=2m=20.921m=31.02m=30.920510.920.980.919500RR0.9190.960.91850.940.9180.920.91750.90.91700.20.40.60.8100.20.40.60.81kk(a)(b)11.3m=1m=111.250.95m=211.20.91.150.8500RR1.10.81.050.751m=1m=110.70.95m=210.650.900.20.40.60.8100.20.40.60.81kk(c)(d)2.2241.3m=1m=12.2241.25m=6m=112.224m=211.22.2241.152.2241.100R2.224R1.052.22412.2240.952.22390.92.22390.852.22390.800.20.40.60.8100.20.40.60.81kk(e)(f)图2.2参数异质性对R0的影响.(a)β1(x)=0.3×βe1(1.3+ksin(mπx)).(b)β1(x)=0.3×βe1(1.3+kcos(mπx)).(c)N(x)=0.3×Ne(1.3+ksin(mπx)).(d)N(x)=0.3×Ne(1.3+kcos(mπx)).(e)β1=0.3×βe1×(1.3+0.5cos(5πx)),d3=de3(1.3+kcos(mπx)),N(x)=0.3×Ne,β2=0.3βe2×(1.3+0.5cos(5πx)),且别的参数取表2.1中的均值.(f)β1=0.3×βe1(1.3+0.5sin(2πx)),β2=0.1×βe2(1.3+0.5sin(2πx)),N(x)=0.3N,re(x)=0.5×(1.3+ksin(mπx),且别的参数取表2.1中的均值49 西南大学博士学位论文2.22542.8a=122.62.2252a=212a=412.422.2252.22.2248200R2.2246R1.81.62.22441.42.22421.22.22412.22380.801234500.511.52kk(a)(b)2.71.4a=1002.6521.3a=1022.6a=01.222.551.12.50R2.4512.40.92.350.82.30.72.252.200.020.040.060.080.100.020.040.060.080.10.120.140.16k(c)(d)图2.3细胞或病毒的移动能力对R或c∗的影响.(a)d=kde.(b)d=kde.03322(c)d=kde.(d)d对最小波速c∗的影响1129x109300t=150a=08t=2002a=0t=25020027a=1002a=1002610050V(t,x)4Distancex3−1002−20010−300−300−200−1000100200300050100150200250DistancexTimet(a)(b)图2.4病毒种群的演化.(a)HIV病毒的传播.(b)病毒传播的边界50 第2章一个体内具有细胞-细胞传播的HIV反应扩散模型a足够大时(如a=100).当a不是很大时,最小波速c∗随着d的增加而递2222增,而当a比较大时,c∗对d的依赖性比较复杂.22令T0(x)=5.0×107,T∗0(x)=0,V0(0)=10,当x∈(−∞,0)∪(0,+∞)时V0(x)=0；a=1,a=0,β=βe,别的参数取表2.1中对应的均值.则HIV病122毒的发展为系统(2.1)的解(图2.4(a)).注意,每一个时间所对应解的结构中都有一个峰出现且峰值比稳态值大很多,这可能是由感染细胞的死亡率比未感染细胞的死亡率大造成的[150].假设V∗=0.3为病毒种群能够被探测到的阈值,则病毒传播的边界见图2.4(b).受[107]的启发,我们可以用图2.4(b)中边界的斜率来估计病毒的渐近传播速度.从而渐近传播速度近似等于c=1.11>c∗=0.9445.当a2=100且别的参数取值与图2.4(a)相同时,我们也可得到渐近传播速度近似等于c=0.73>c∗=0.6666.注意：这两种情况都显示渐近传播速度大于最小波速.上面的模拟并没有考虑所有参数都在空间中变化的情况.当更多的参数变化时会出现什么结果呢？我们发现这种情况下结果非常复杂.当只有r(x)异质时,通过上面的方法易得R0随着异质性参数k的增加而递增.然而,当多个参数变化时,我们发现R0和k的关系是复杂的：依赖于具体的环境,异质性可能降低或增大R0(图2.2(f)).2.5结论和讨论在本章中,我们建立了一个空间明确的宿主体内的HIV模型来研究细胞或病毒粒子的移动性及空间异质性对HIV致病机理的影响.为了得到异质环境中病毒持续或灭绝的条件,我们研究了具有Neumann边界条件的有界域的情况.首先,得到了解的适定性.然后,我们引进了基本再生数R0,并证明了它是一个阈值：当R0<1时病毒灭绝,当R0>1时病毒持续.当空间同质时,我们得到了解的全局行为,并证明了当R0>1时正常数稳态是全局渐近稳定的.为了研究行波解的存在性并得到病毒在体内的传播速度,我们研究了空间同质环境下无界域R中的行波解问题.首先,我们得到了当R>1和c>c∗时,连接无病毒稳态的0半行波解的存在性.然后,证明了当d2≤d3时这个半行波解也连接正常数稳态.同时也得到了临界行波解的存在性.通过利用单边拉普拉斯变换,我们也得到了51 西南大学博士学位论文当R>1和cd3的情况也应该进一步的研究.我们还关注了可能影响细胞-细胞感染能力的感染细胞的扩散能力的影响.通过模拟,我们可以得到降低T细胞的移动性可能会增加传播风险,但却可能会降低最小波速(可能是病毒的渐近传播速度).所以,是通过控制T细胞的移动性来降低感染风险还是降低传播速度是一个值得研究的优化问题.52 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型3.1模型的建立众所周知,病毒不仅可能是水生系统（湖泊、海洋或河流）中最常见的生物媒介,而且对水生系统有很大的影响.可用的营养物的形式、藻类爆发的终止和微生物的多样性都受到病毒通过各种方式所施加的影响[47,141,162,165].能够攻击细菌的病毒被称为噬菌体,它可以分为两种：温和噬菌体和烈性噬菌体.前者可以裂解(lytically)或溶原性(lysogenically)传播,而后者裂解传播[93].在自然界中,噬菌体通常采用混合的策略[17,111]:一些裂解病毒能够通过在裂解周期中出芽而不是破裂细胞膜而逃离宿主细胞；一些细菌在变成溶原性后会失去他们的溶原能力而变成新的易感者.在水生环境中,噬菌体经常攻击强的竞争者,从而导致弱的竞争者能够共存[14,15].恒化器不仅是水生栖息地（如湖泊或池塘）的高度理想化的物理模型,而且也是微生物生态学中的常见模型,这个模型可以明确的包含基于资源的竞争.因此,我们可以使用恒化器来探索病毒对栖息在水生环境中的两个竞争物种的竞争收益的影响.在经典的栖息地均匀混合的竞争模型中,经常会得到竞争排斥(当多个物种竞争一种单一的营养物资源时,只有一个物种可以持续存在)的预测[134].然而,物种共存在自然界中是很常见的.为了得到这个结果并使模型更符合实际,已有许多通过修改经典模型的工作.一种有效的方法是考虑栖息地的异质性,在这种方法中假设种群和资源分布在空间变化的栖息地中.这时,一个非搅拌的恒化器作为未充分混合的恒化器的类似物被引入,其中营养物和组织通过扩散传播[38,58,69,170].对于非搅拌恒化器模型,研究发现即使只有一种营养物,共存现象也可能存在.在这些模型,不同的研究者考虑了不同的因素,比如抑制剂或毒素[109,169]、两种营养物资源[58,110,179]等等.此外,也有一些假设营养物和组织通过扩散和对流传播的流动-反应模型的工作[6,7,53,124,131].研究病毒对竞争物种的影响或噬菌体-细菌相互作用的模型大多假设空间是同质的并把病毒部分精确的包含在模型中[123,163].最近,Jones和Smith[77,53 西南大学博士学位论文133]建立了一个时滞反应-扩散模型来研究细菌和噬菌体在流动反应容器中的相互作用,并且发现细菌和和噬菌体都可能持续或灭绝.Han和Smith[63]建立了一个均匀混合的恒化器模型,模型中包含噬菌体、对噬菌体敏感的细菌和抗噬菌体细菌,并得到了一些持续和灭绝的结果.注意:上面的模型都把病毒精确的包含在模型中,且并没有同时考虑病毒和空间异质性对竞争物种的影响.为了研究引进一种病毒是否能够导致水生系统中细菌竞争者之间共存,North-cott等[111]建立了一个均匀混合的竞争恒化器模型,在模型中病毒是隐含存在的.他们发现当有病毒存在时,物种有可能共存,并且这个模型具有非常复杂的动力学性质：双稳定或多重周期轨现象都可能发生.虽然通过利用均匀混合的恒化器可以得到水生栖息地中物种相互作用收益的许多预测,但是实际中栖息地环境的异质性意味着均匀混合的假设是有问题的.为了使模型更符合实际,我们将移除均匀混合的假设,并建立一个非搅拌的恒化器模型.为了简化,我们假设栖息地为0≤x≤1,并记Ω=(0,1).新的营养物从区域的一端边界供应进入,而营养物和组织可以从另一端边界移出.此外,我们假设所有的介质扩散穿过栖息地并具有相同的扩散速度.受[111]的启发,我们假设细菌通过与其他被感染的细菌紧密接触而被病毒感染,并且一些被感染的细菌能够清除病毒而变为易感者.从而我们可以建立如下的模型：∂N111=d0Nxx−f1(N)S−µf1(N)I−f2(N)B,t>0,x∈Ω,∂tη1η1η2∂S=d0Sxx+f1(N)S−βSI+dI,t>0,x∈Ω,∂t(3.1)∂I=d0Ixx+µf1(N)I+βSI−(d+γ)I,t>0,x∈Ω,∂t∂B=d0Bxx+f2(N)B,t>0,x∈Ω,∂t具有边界N(t,0)=−N0,S(t,0)=I(t,0)=B(t,0)=0,t>0,xxxxNx(t,1)+αN(t,1)=0,Sx(t,1)+αS(t,1)=0,t>0,(3.2)Ix(t,1)+αI(t,1)=0,Bx(t,1)+αB(t,1)=0,t>0,和初值条件N(0,x)=N(0)(x)≥0,S(0,x)=S(0)(x)≥0,(3.3)(0)(0)I(0,x)=I(x)≥0,B(0,x)=B(x)≥0,54 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型且在Ω上S(0),B(0)̸≡0,其中N(t,x)、S(t,x)、I(t,x)、B(t,x)分别代表t时刻在x位置的营养物、易感物种、感染物种和抗性物种的浓度.为了简单起见,我们假设易感物种和感染物种具有相同的收益常数η1.记η2为抗性物种的收益常数；γ为感染物种中病毒诱导的死亡率；β为感染能力；d为病毒被清除或中和的速率.N0反映了营养物在位置0的流入量,α为营养物和每一个物种的自然输出流量.f1(N)和f2(N)表示物种S和B在资源程度为N时的增长速率.虽然[111]中的发生率采用了双线性的形式,但是增长速率fi经常采用Monod型:fi(N)=miN/(ai+N),其中mi,ai>0[69].然而,在本章中我们可以移除这些假设,只需假设:(H)f:R→R是C1的且f(0)=0;1i++i(H)对N≥0有f′(N)>0,f(+∞)<+∞.2ii为了后边分析的方便和技术上的原因,尤其是为了研究系统的非负稳态,我们可以扩展fi:R+→R+到fi:R→R使得对所有N≥0有fi(N)=fi(N),当N<0时f(N)<0,且f∈C1(R)[108].为简化起见,我们仍记f(N)为iiifi(N).由于病毒经常攻击强的物种,所以我们假设:(H3)对所有N>0有f1(N)>f2(N).为了简化分析,我们假设感染物种的增长速率与易感物种的成比例,并把它记为µf1(0≤µ≤1).由于我们主要关注病毒的影响而扩散能力也能调谐共存[38],所以为了简单起见,我们假设每个物种都具有相同的扩散能力d0.此外,我们假设所有物种的自然死亡率是可以忽略的,且所有的参数都是正常数.我们可以通过下面的尺度化把ηi(i=1,2)去掉：SIBSe=,Ie=,Be=,βe=βη1.η1η1η2今后,我们移除变量和参数上的波浪符,并假设ηi=1(i=1,2).显然,当d=0时,系统(3.1)-(3.3)可以看成一个捕食-食饵系统：物种I不仅捕食S,而且还与S和B竞争资源N.在本章中,我们的兴趣主要是进一步研究引进的病毒对水生环境中两个竞争同一种不可繁殖的生长限制性营养物资源的竞争物种的影响.我们希望研究病毒55 西南大学博士学位论文的引进是否能够导致物种在异质环境中共存,以及病毒对易感物种和竞争收益的影响.这章的余下部分安排如下.在下一节,我们介绍一些众所周知的引理,并获得关于模型的一些初始结果.在第三节,我们研究一个具有病毒的单物种系统.研究了平凡和半平凡稳态的稳定性、子系统的一致持续性、正稳态的全局结构以及病毒的影响.我们同时也给出了一些正稳态的唯一性和稳定性的充分条件.在第四节,首先给出了一些整个系统的正稳态的存在性的充分条件,然后考虑了解的长时间动态.最后一部分给出了一些简要的总结和讨论.3.2初始结果我们首先给出一些本章要用到的众所周知的引理,然后研究系统的适定性并给出一些关于模型非平凡稳态的先验估计.令X为巴拿赫空间且W⊂X为一闭凸子集.对任意y∈W,定义Wy={x∈X:对于一些π>0有y+πx∈W},Zy={x∈Wy:−x∈Wy}.显然,Wy是一个锲子,Zy为X中包含于Wy的最大线性子空间.引理3.2.1.[125,169]假设T是X上的一个使得y∈W是T的一个不动点且T(W)⊆W的紧的Frechet可微算子.并且存在X的闭线性子空间Xy使⊕得X=ZyXy且Wy是生成的.令Q:X→Xy为Xy沿着Zy的射影算子.如果T在y的Frechet导数T′(y)在W内没有非零不动点,那么index(T,y)yW存在且下面的结论成立:(i)如果Q◦T′(y)有特征值λ>1,则index(T,y)=0;W(ii)如果Q◦T′(y)没有这样的特征值,则index(T,y)=index(T′(y),0),WZy其中index(T′(y),0)是在空间Z中线性算子T′(y)在0的指数.Zyy56 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型引理3.2.2.[70,152]假设g∈C(Ω1),ν(x)∈C(∂Ω1)和ν(x)≥0,其中Ω1是Rn中的有界域.令λ(g)为下面问题的第一特征值:1∂φ−∆φ+gφ=λφ,x∈Ω1;+ν(x)φ=0,x∈∂Ω1.∂n则λ1(g)连续依赖于g.另外,当g1≤g2且g1̸≡g2时λ1(g1)<λ1(g2).引理3.2.3.[70,152]令g∈C(Ω1),在Ω1上g(x)+h>0,其中h>0,并且λ1为下面问题的第一特征值∂φ−∆φ−g(x)φ=λφ,x∈Ω1;+ν(x)φ=0,x∈∂Ω1,∂n其中ν(x)∈C(∂Ω1),ν(x)≥0.如果λ1>0(或λ1<0),则特征值问题∂φ−∆φ+hφ=t(g(x)+h)φ,x∈Ω1;+ν(x)φ=0,x∈∂Ω1,∂n没有小于或等于1的特征值(或有特征值小于1).3.2.1适定性我们现在研究系统(3.1)-(3.3)的适定性.显然下面的命题成立.命题3.2.1.系统(3.1)-(3.3)存在唯一的冲刷(washout)稳态解E=(N∗,0,00,0),其中∗0α+1N=N(−x).α令X=C(Ω,R4),X+=C(Ω,R4).易得(X,X+)是一个具有上确界范数的+强保序空间.考虑下面古典热方程的初边值问题[40]：∂ω=d0ωxx,t>0,x∈Ω,∂tωx(t,0)=ωx(t,1)+αω(t,1)=0,t>0,(3.4)ω(0,x)=ϕ(x).由[69,引理2.1]中类似的讨论可以得到下面的引理成立.57 西南大学博士学位论文引理3.2.4.假设ω(t,x)是(3.4)满足初值ϕ(x)∈C(Ω,R)的解,则存在依赖于ϕ(x)的M+>0使得对所有的x∈Ω和t>0有∥ω(t,x)∥≤M+,并且limt→+∞ω(t,x)=0对所有x∈Ω一致.定理3.2.1.对每一个初值(N(0),S(0),I(0),B(0))∈X+,系统(3.1)−(3.3)有一个唯一的全局古典解(N(t,x),S(t,x),I(t,x),B(t,x)),并且这个解对所有的t≥0都属于X+.此外,解半流Φ(t)=(N(t,·),S(t,·),I(t,·),B(t,·)):[0,∞)×X+→X+在X+中有一个全局紧吸引子.证明由[98,定理1,注1.1]和类似于[71,引理2.1]中的讨论可得系统(3.1)−(3.3)有一个唯一的不可延拓解(N(t,x),S(t,x),I(t,x),B(t,x)),并且这个解在它的最大存在区间[0,τ)上都属于X+.此外,这个解是一个古典解.∞令ζ=N∗−N−S−I−B,则ζ满足ζt=d0ζxx+rI≥d0ζxx,x∈Ω;ζx(t,0)=ζx(t,1)+αζ(t,1)=0.所以,由比较原理可得对所有的t∈[0,τ∞)有ζ(t,x)≥ω(t,x),其中ω(t,x)是系统(3.4)满足初值ω(0,x)=N∗−N(0)−S(0)−I(0)−B(0)的解.因而,对所有的t∈[0,τ)有N(t,x)+S(t,x)+I(t,x)+B(t,x)≤N∗−ω(t,x),从而由引∞理3.2.4可知对所有的t∈[0,τ∞)都有∥N(t,x)+S(t,x)+I(t,x)+B(t,x)∥≤∥N∗∥+∥ω(t,x)∥<+∞.然后,由[98,定理1]易得τ=+∞.∞显然,由引理3.2.4和上面的讨论可得limsupt→+∞∥N(t,x)+S(t,x)+I(t,x)+B(t,x)∥≤∥N∗∥对x∈Ω一致.所以,Φ(t)是点耗散的且初值的有界集具有有界的正半轨.注意Φ(t)是紧的,从而由[62,定理3.4.8]可知Φ(t)在X+中有一个全局紧吸引子.定理得证.在本章中,我们主要关注系统(3.1)−(3.3)的动力学和非负稳态.注意,当研究具有非齐次边界条件的系统的正稳态时,为了简化起见,经常将其转化为一个具有齐次边界条件的等价稳态系统而进行研究[170].下面我们将构造一个具有齐次边界的等价系统.定义(0)(0)(0)(0)+(0)∗Y={(N,S,I,B)∈X:N≤N}.假设(N(t,x),S(t,x),I(t,x),B(t,x))是(3.1)−(3.3)的一个满足初值属于X+的解.记ω(t,x)为(3.4)的初值为ϕ(x)=N∗−N(0)的解.令r=N∗−N.显然rt≥d0rxx,t>0,x∈Ω;rx(t,0)=rx(t,1)+αr(t,1)=0,t>0.58 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型所以,对所有的t>0和x∈Ω有r(t,x)≥ω(t,x).从而由引理3.2.4可得liminfr(t,x)≥0,t→+∞其中收敛性在x∈Ω上一致,这意味着limsupN(t,x)≤N∗.进一步的,假t→+∞设ϕ(x)=N∗−N(0)≥0,则由极大值原理可得对所有的t>0有ω(t,x)≥0.所以,对所有的t>0和x∈Ω有r(t,x)≥ω(t,x)≥0,这暗示了对所有的t>0和x∈Ω有N(t,x)≤N∗.综合上述讨论,我们可以得到集合Y是系统(3.1)−(3.3)的吸引和正不变集.因此,我们可以定义Y为系统(3.1)−(3.3)的一个可行域.假设(N(0),S(0),I(0),B(0))∈Y.记r=N∗−N,则系统(3.1)-(3.3)可以写为∂r=dr+f(N∗−r)S+µf(N∗−r)I+f(N∗−r)B,t>0,x∈Ω,∂t0xx112∂S=dS+f(N∗−r)S−βSI+dI,t>0,x∈Ω,∂t0xx1∂I=dI+µf(N∗−r)I+βSI−(d+γ)I,t>0,x∈Ω,∂t0xx1∂B∗=d0Bxx+f2(N−r)B,t>0,x∈Ω,∂trx(t,0)=Sx(t,0)=Ix(t,0)=Bx(t,0)=0,t>0,rx(t,1)+αr(t,1)=0,Sx(t,1)+αS(t,1)=0,t>0,Ix(t,1)+αI(t,1)=0,Bx(t,1)+αB(t,1)=0,t>0,∗(0)(0)(0)(0)(r(0,x),S(0,x),I(0,x),B(0,x))=(N−N,S,I,B)∈Y.(3.5)为了简化标记,设v0=r,v1=S,v2=I,v3=B和v=(v0,v1,v2,v3),并假设初始条件满足00000∗(0)(0)(0)(0)v=(v0,v1,v2,v3):=(N−N,S,I,B)∈Y.令T(t)为C(Ω,R)上使得ω=T(t)ϕ满足初边值问题(3.4)的C0半群.则T(t)是紧、强正的,并且存在M>0使得对所有的t>0有∥T(t)∥≤M[132,第7章].59 西南大学博士学位论文定义Fi:Y→C(Ω,R)(i=0,1,2,3)如下：F(v)=f(N∗−v)v+µf(N∗−v)v+f(N∗−v)v,0101102203F(v)=f(N∗−v)v−βvv+dv,1101122(3.6)F(v)=µf(N∗−v)v+βvv−(d+γ)v,2102122F(v)=f(N∗−v)v.3203则具有初始值v0的系统(3.5)可以写成下面的积分方程的形式：∫t0vi(t)=T(t)vi+T(t−s)Fi(v(s))ds,i=0,1,2,3.(3.7)0定理3.2.2.对每一个初值(r(0,x),S(0,x),I(0,x),B(0,x))∈Y,系统(3.5)存在唯一的全局古典解,并且这个解对所有的t≥0都属于Y.此外,解半流Φ1(t)=(r(t,·),S(t,·),I(t,·),B(t,·)):[0,∞)×Y→Y在Y中有一个全局紧吸引子.证明对每一个初始值v0∈Y,我们现在建立下面的subtangentia条件1000limd(v+hF(v),Y)=0,∀v∈Y.h→0+h其中,对ξ∈X,d(ξ,Y)=inf{∥ξ−ϕ∥:ϕ∈Y}.由于v0≥0,所以对任意充分小的h>0有3000∗00v3+hF3(v)=v3(1+f2(N−v0)h)≥v3.从而对任意充分小的h>0有d(v0+hF(v0),Y)=0.因为33000∗00v2+hF2(v)=v2(1+(µf1(N−v0)+βv1−(d+γ))h),000∗000v1+hF1(v)=v1(1+(f1(N−v0)−βv2)h)+dv2h,所以对充分小的h>0有d(v0+hF(v0),Y)=0和d(v0+hF(v0),Y)=0.2211我们可以将fi(N)表示fi(N)=Ngi(N)(i=1,2),其中gi(N):[0,∞)→[0,∞)是连续的.则000∗00∗00∗00v0+hF0(v)=v0+h(f1(N−v0)v1+µf1(N−v0)v2+f2(N−v0)v3)∗∗0∗000∗00=N−(N−v0)(1−h(g1(N−v0)(v1+µv2)+g2(N−v0)v3)).60 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型由上面的表示可知对充分小的h>0有0≤v0+hF(v0)≤N∗,这意味着对充00分小的h>0,d(v0+hF(v0),Y)=0成立.00所以由上面的讨论可知subtangential条件满足.然后,由[98,定理2,推论4]可得对每一个初值v0∈Y,系统(3.5)有一个唯一的不可延拓解v(t,v0),并且在解的最大存在区间[0,τ)上v(t,v0)∈Y.此外,这个解是一个古典解.∞因为在[0,τ)上v(t,v0)∈Y,所以对t∈[0,τ)有0≤r(t,x)≤N∗.令∞∞N=N∗−r.则对t∈[0,τ)有(N,S,I,B)∈Y且满足系统(3.1)-(3.3).所以余∞下的结论可以通过类似于定理3.2.1的讨论得到.证毕.显然,由定理3.2.2可得Y关于系统(3.5)正不变.注意到Y对系统(3.1)-(3.3)也是正不变和吸引的.所以,在这章的余下部分,我们假设(3.5)中的初值r∈[0,N∗],并经常研究系统(3.5)而不是(3.1)-(3.3)(因为它们等价).3.2.2非负稳态在这一小节,我们主要关注系统(3.1)-(3.3)的非负稳态的存在性、唯一性和先验估计.极大值原理暗示了下面的先验估计成立.引理3.2.5.设(N,S,I,B)为系统(3.1)-(3.3)的一个非负稳态,则要么00,所以并不存在同时满足I̸≡0和S≡0的非负稳态.假设上述结论不成立,则由极大值原理可知I>0.将(3.8)的第二个方程左右两边同时积分,∫1可以得到0=dIdx>0,矛盾.我们也可得到并不存在具有下述形式的非负稳0态:N,S,B≥0,I≡0且N,S,B̸≡0.用反证法.假设存在(N∗,S∗,B∗)满足61 西南大学博士学位论文上述条件和下面的方程组:−d0N∗xx=−f1(N∗)S∗−f2(N∗)B∗,x∈Ω,−d0S∗xx=f1(N∗)S∗,x∈Ω,−d0B∗xx=f2(N∗)B∗,x∈Ω,其中边界条件和(3.8)中的相同.显然,极大值原理可以确保S∗>0和B∗>0.记πi(i=1,2)为下面特征值问题的本原特征值d0ϕxx+fi(N∗)ϕ=πiϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.则πi=0(i=1,2),这与(H3)矛盾.所以,系统(3.1)-(3.3)的非负稳态至多包含下面五种形式:E=(N∗,0,0,0),E=(N,S,0,0),E=(N,S,I,0),01112222E3=(N3,0,0,B3)和E4=(N4,S4,I4,B4).假设(r,S,I,B)为(3.5)的非负稳态.我们可以得到对所有的x∈Ω都有r≤N∗.反证法.假设存在x∈Ω使得r(x)>N∗(x).令N=N∗−r,则N000满足0d0Nxx=f1(N)S+µf1(N)I+f2(N)B,x∈Ω;Nx(0)=−N,Nx(1)+αN(1)=0,和N(x0)<0.所以N(x1)<0,其中x1为N在Ω上的极小值点.由Hopf边界引理可得x1̸=0,1,即x1∈(0,1).因此,0≤d0Nxx(x1)=f1(N(x1))S(x1)+µf1(N(x1))I(x1)+f2(N(x1))B(x1)≤0,从而由fi(N(x1))<0(i=1,2)可得S(x1)=I(x1)=B(x1)=0.注意到B(x1)=0暗含着x1为B的极小值点,则Bx(x1)=Bxx(x1)=0.因此由解的唯一性可知B(x)≡0.类似地,我们可以得到S(x)≡0和I(x)≡0.所以,r(x)满足在Ω上rxx≡0,这暗示了在Ω上r≡0,矛盾.令r=N∗−N.显然,由引理3.2.5和上面的讨论可知,(N,S,I,B)是系统(3.1)-(3.3)的非负稳当且仅当(r,S,I,B)是(3.5)的非负稳态:−dr=f(N∗−r)S+µf(N∗−r)I+f(N∗−r)B,x∈Ω,0xx112−dS=f(N∗−r)S−βSI+dI,x∈Ω,0xx1−dI=µf(N∗−r)I+βSI−(d+γ)I,x∈Ω,0xx1∗(3.9)−d0Bxx=f2(N−r)B,x∈Ω,rx(0)=Sx(0)=Ix(0)=Bx(0)=0,rx(1)+αr(1)=0,Sx(1)+αS(1)=0,Ix(1)+αI(1)=0,Bx(1)+αB(1)=0,62 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型其中r=N∗−NλB,RS>RB.命题3.2.2.系统(3.10)存在唯一的正解(S1,S1)当且仅当RS>1.此外,S1,其中N=N∗−S.S11类似地,我们可以得到E3的存在性条件如下:63 西南大学博士学位论文推论3.2.1.系统(3.8)存在唯一的具有E3=(N3,0,0,B3)形式的非负解当且仅当R>1,其中N=N∗−B.B33为了得到半平凡非负稳态E2和正稳态E4的存在性条件,我们现在给出关于它们的一些先验估计.引理3.2.7.假设(N2,S2,I2,0),(N4,S4,I4,B4)是系统(3.8)的非负解,其中N,S,I̸≡0和N,S,I,B̸≡0.则N∗−S≤N≤N∗,0<222444414N+S+I+B≤N∗,01,RB>1.证明如果(3.8)有一个正解,由特征值的比较原理易得λS>0和λB>0,这暗含了RS>1和RB>1.我们现在证明关于(N4,S4,I4,B4)的结论成立,关于(N2,S2,I2,0)的结论也可类似地得到.显然,∫1∫1′′−d0N4xx+((S4+µI4)f1(τN4)dτ+B4f2(τN4)dτ)N4=0,x∈Ω.00从而由极大值原理可得在Ω上N,S,I,B>0.令P=N∗−(N+S+I+B),444414444则P1满足−d0P1xx=γI4>0,x∈Ω;P1x(0)=P1x(1)+αP1(1)=0.所以由极大值原理可得P≥0,这就意味着N≤N∗,00,x∈Ω,∂t∂S∗=d0Sxx+f1(N−r)S−βSI+dI,t>0,x∈Ω,(3.13)∂t∂I∗=d0Ixx+µf1(N−r)I+βSI−(d+γ)I,t>0,x∈Ω,∂t其中边界条件与(3.5)中的相同.3.3.1子系统的动力学性态记X+=C(Ω,R3),Y={(r,S,I)∈X+:r≤N∗}.通过类似于定理3.2.21+11的讨论可知子系统(3.13)生成一个解半流Ψ(t):Y1→Y1.我们现在研究系统(3.13)的全局动态.显然,系统(3.13)的非负稳态必须包含在下面三种形式中:E′=(0,0,0),E′=(S,S,0)和E′=(N∗−N,S,I).01112222定理3.3.1.如果R<1,则E′=(0,0,0)在Y内全局渐近稳定.如果S01R>1,则E′=(0,0,0)不稳定.S0证明将(3.13)在E′线性化,并假设ρ是这个线性化微分算子的一个对应0特征函数为(r,S,I)的特征值,则∗d0rxx+f1(N)(S+µI)=ρr,x∈Ω,∗(3.14)d0Sxx+f1(N)S+dI=ρS,x∈Ω,∗d0Ixx+µf1(N)I−(d+γ)I=ρI,x∈Ω,其中边界条件与(3.9)中的相同.记ϕ1>0为特征值问题(3.11)的对应于λS的特征函数.当RS>1时,显然,λS>0.由于d0rxx−λSr是逆算子,所以d0rxx+f(N∗)ϕ=λr有唯一解ψ.因此,系统(3.14)有一个特征值λ>0,其对应的11SS特征函数为(ψ,ϕ,0),这暗含了当R>1时E′=(0,0,0)不稳定.1S0当RS<1时,显然,λS<0.如果I̸≡0,则ρ是问题∗d0φxx+µf1(N)φ−(d+γ)φ=ρφ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,65 西南大学博士学位论文的一个特征值.所以由特征值的比较原理可得ρ≤λS<0.如果I≡0且S̸≡0,则由λS的定义可知ρ≤λS<0.如果I≡0且S≡0,则r̸≡0,否则ρ不是一个特征值,这暗含了ρ<0.所以,当R<1时E′=(0,0,0)局部渐近稳定.S0现在,我们考虑当R<1时E′的全局吸引性.由于λ<0,易得下面的方S0S程的解∂u∗=d0uxx+f1(N)u,t>0,x∈Ω;ux(t,0)=ux(t,1)+αu(t,1)=0,t>0,∂t满足当t→+∞时u(t,x)→0,其收敛性在x∈Ω上一致.令P(t,x)=S(t,x)+I(t,x),则由0≤µ≤1可知P(t,x)满足∗∗Pt=d0Pxx+f1(N−r)(S+µI)−γI≤d0Pxx+f1(N)P.假设u(0,·)=P(0,·),则由比较原理可知对所有的t≥0有P(t,x)≤u(t,x),所以当t→+∞时P(t,x)→0,其收敛性在x∈Ω上一致.因为S(t,x),I(t,x)≥0,因此当t→+∞时S(t,x)→0,I(t,x)→0,这两个收敛性都在x∈Ω上一致.令b1(t,x)=r(t,x)−S(t,x)−I(t,x).则b1(t,x)满足:b1t=d0b1xx+γI≥d0b1xx,t>0,x∈Ω;b1x(0)=0,b1x(1)+αb1(1)=0.所以,对任意充分小的ϵ>0,由比较原理可知存在t1>0使得对所有的t>t1有b1(t,x)≥−ϵ,从而对所有的t>t1有S+I≤r+ϵ.因此,对所有的t>t1有r≤dr+f(N∗−r)(r+ε).令u(t,x,ϵ)=r(t,x)+ϵ,则u满足：对所有t0xx111的t>t有u≤du+f(N∗+ϵ−u)u.因而由比较原理可知存在t>t11t01xx11121使得当t>t2时r(t,x)≤u1(t,x,ϵ)≤u1(ϵ)+ϵ,其中u1(ϵ)是下面方程的唯一正解：∗d0u1xx+f1(N+ϵ−u1)u1=0,x∈Ω;u1x(0)=0,u1x(1)+αu1(1)=αϵ.因为RS<1,所以由标准的正则性讨论和Sobolev嵌入定理可得当ϵ→0时u1(ϵ)→0.因此,当t→+∞时r(t,x)→0.证毕.现在,我们定义I的基本再生数如下:{∫}1(µf(N∗−S∗)+βS∗)φ2dx01RIS=sup∫1.φ∈H1(Ω),φ̸=0,d+γ+d0(αφ2(1)+φ2xdx)∫01φ2dx=1066 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型由[161]可知RIS−1和λIS具有相同的符号,其中λIS是下面特征值问题的本原特征值：dφ+(µf(N∗−S)+βS−d−γ)φ=λφ,x∈Ω,0xx111(3.15)φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.记σ为下面特征值问题的本原特征值：∗d0φxx+(µf1(N)+βS1−d−γ)φ=σφ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.定理3.3.2.假设R>1.如果R<1,则E′=(S,S,0)局部渐近稳SIS111定;如果R>1,则E′=(S,S,0)不稳定.此外,当下面的条件之一成立时IS111E′=(S,S,0)在Y内全局渐近稳定:1111(i)σ<0.(ii)R<1和对所有x∈[0,maxN∗]都有β>µf(x),其中maxN∗=ISx∈Ω1xx∈ΩN0(α+1)/α.证明将(3.13)在E′线性化,并假设τ是这个线性化算子的一个对应的特1征函数为(ϕ,φ,ψ)的特征值.则(ϕ,φ,ψ)满足∗∗′∗d0ϕxx+f1(N−S1)φ+µf1(N−S1)ψ−f1(N−S1)S1ϕ=τϕ,x∈Ω,∗′∗d0φxx+f1(N−S1)φ−f1(N−S1)S1ϕ−βS1ψ+dψ=τφ,x∈Ω,∗d0ψxx+µf1(N−S1)ψ+βS1ψ−(d+γ)ψ=τψ,x∈Ω,(3.16)其中边界条件与(3.9)中的相同.通过类似于定理3.3.1中的讨论可得当R>1时E′不稳定.IS1现在,我们假设RIS<1.易得当ψ̸≡0时τ≤λIS<0.如果ψ≡0,显然对x∈Ω有d0(ϕxx−φxx)=τ(ϕ−φ),这暗示了当ϕ̸≡φ时τ<0.如果ϕ≡φ且ψ≡0,则dϕ+(f(N∗−S)−f′(N∗−S)S)ϕ=τϕ.因为0是0xx11111dϕ+f(N∗−S)ϕ=τϕ的对应的特征函数为S的本原特征值.所以,由0xx1111(H)和引理3.2.2可得τ<0.因此,当R<1时E′局部渐近稳定.2IS1接下来我们考虑σ<0的情况.显然,λIS<0且RIS<1.所以我们只需要考虑E′的吸引性.由σ的定义可知,存在δ>0使得对所有0≤ϵ<δ有111σ1(ϵ)<0,其中σ1(ϵ)是下面算子的本原特征值：∗d0φxx+(µf1(N)+β(S1+2ϵ)−d−γ)φ=σφ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.67 西南大学博士学位论文通过类似于定理3.3.1中的讨论,易得存在t1>0使得对所有t>t1有r+ϵ≥S+I和r≤u(ϵ)+ϵ,其中u(ϵ)为下面方程的唯一正解：∗d0uxx+f1(N+ϵ−u)u=0,x∈Ω;ux(0)=0,ux(1)+αu(1)=αϵ.通过利用标准的正则性讨论和Sobolev嵌入定理,我们可以得到当ϵ→0时u(ϵ)→S1.所以,对于充分小的ϵ,存在t2≥t1使得当t>t2时r≤S1+ϵ.从而由(3.13)的第三个方程得∗It≤d0Ixx+µf1(N)I+β(S1+2ϵ)I−(d+γ)I,t>t2,所以由σ1(ϵ)<0和标准的比较原理可知当t→∞时I(t,x)→0,其收敛性是一致的.因此,(r,S)渐近收敛于方程组∂r∗=d0rxx+f1(N−r)S,t>0,x∈Ω,∂t(3.17)∂S∗=d0Sxx+f1(N−r)S,t>0,x∈Ω,∂t其中边界条件与(3.5)中的相同.我们现在考虑系统(3.17)的全局动态.令m=r−S,则m(t,x)满足mt=d0mxx,t>0,x∈Ω;mx(0)=mx(1)+αm(1)=0,这暗含了当t→+∞时m→0,且这个收敛性是一致的.所以,对任意充分小的ϵ>0,存在t3>0使得对所有的t>t3和x∈Ω有S−ϵt3.通过类似于前面的讨论,易得当t→+∞时S(t,x)→S1,这就暗示了当t→+∞时r(t,x)→S.所以由渐近自治半流理论[143,推论4.3]可以得到E′的吸引性.11下面,我们研究R<1且对所有的x∈[0,maxN∗]有β>µf(x)的ISx∈Ω1x情况.由于λIS<0,所以对任意充分小的ϵ>0有λ(ϵ)<0,其中λ(ϵ)是下面特征值问题的本原特征值：dφ+(µf(N∗−S−ϵ)+β(S+2ϵ)−d−γ)φ=λ(ϵ)φ,x∈Ω,0xx111φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.68 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型通过类似于上面的讨论可知存在T0>0使得对所有的t≥T0有S+I−ϵ≤γ≤S+ϵ.因为对所有的x∈[0,maxN∗]都有β>µf(x),所以1x∈Ω1x∗It≤d0Ixx+µf1(N−S−I+ϵ)I+βSI−(d+γ)I∗≤d0Ixx+µf1(N−S1−ϵ)I+β(S1+2ϵ)I−(d+γ)I,t≥T0.因此,由λ(ϵ)<0可得当t→+∞时I→0,这个收敛性是一致的.证明的剩余部分可由σ<0中的类似讨论得到.证毕.下面,我们讨论子系统(3.13)的持续性.定理3.3.3.假设RS>1.如果RIS>1,那么存在δ>0使得系统(3.13)的每个具有初值S(0,x)̸≡0且I(0,x)̸≡0的解(r(t,x),S(t,x),I(t,x))满足liminfS(t,x)≥δ和liminfI(t,x)≥δ,t→+∞t→+∞其中这两个收敛性对所有的x∈Ω一致.此外,子系统(3.13)至少存在一个正稳态.证明令X0={ϕ=(r,S,I)∈Y1:S(·)̸≡0和I(·)̸≡0}.显然,∂X0={(r,S,I)∈Y1:S(·)≡0或I(·)≡0},并且X0关于解半流Ψ(t)是正不变的.设M={ϕ∈∂X:Ψ(t)(ϕ)∈∂X,∀t≥0},ω(ϕ)是正半轨γ+(ϕ)={Ψ(t)(ϕ):∂00t≥0}的ω极限集.为了运用[135]中的抽象持续性理论,我们需要证明下面三个结论成立.∪结论1.ω(ϕ)=E′∪E′.ϕ∈M∂01对任意的ϕ∈M∂,易得对所有的t≥0有S(t,x,ϕ)≡0或I(t,x,ϕ)≡0.如果对所有的t≥0有I(t,x,ϕ)≡0.则由渐近自治半流理论[143]和类似于定理3.3.2中的讨论,我们能够得到要么limt→+∞(r(t,x,ϕ),S(t,x,ϕ))=(0,0)要么limt→+∞(r(t,x,ϕ),S(t,x,ϕ))=(S1,S1).如果对一些t0≥0有I(t0,x,ϕ)̸≡0,则由极大值原理可得对所有的t>t0有I(t,x,ϕ)>0,从而对所有的t>t0有S(t,x,ϕ)≡0.然后由(3.13)的第二个方程易得对所有t>t0有I(t,x,ϕ)≡0,矛盾.所以,结论1成立.因为RS>1且RIS>1,所以λS>0,λIS>0.因此存在充分小的ε>0使得λ1(ε)>0和ρ1(ε)>0,其中λ1(ε)是下面特征值问题的对应特征函数为φ1>0的本原特征值：∗d0φxx+f1(N−ε)φ−βεφ=λ1(ε)φ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,69 西南大学博士学位论文并且ρ1(ε)为下面特征值问题的对应特征函数为φ2>0的本原特征值：dφ+(µf(N∗−S−ε)+β(S−ε)−d−γ)φ=ρ(ε)φ,x∈Ω;0xx1111φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.结论2.E′是一个一致弱排斥子,即对所有ϕ∈X有limsup∥Ψ(t)(ϕ)−00t→+∞E′∥≥ε.0反证法.假设存在ϕ∈X使得limsup∥Ψ(t)(ϕ)−E′∥<ε.则存在00t→+∞00t1>0使得∥r(t,x,ϕ0)∥<ε,∥S(t,x,ϕ0)∥<ε,∥I(t,x,ϕ0)∥<ε,∀t≥t1.所以,由(3.13)的第二个方程可得∗S1t≥d0Sxx+f1(N−ε)S−βεS,∀t≥t1.由于对所有t>0有S(t,x,ϕ0)>0,所以存在ϵ0>0使得S(t1,x,ϕ0)≥ϵ0φ1.从而由比较原理可得S(t,x,ϕ)≥ϵφeλ1(ε)(t−t1).因此,limS(t,x,ϕ)=+∞,001t→+∞0矛盾.结论3.E′是一个一致弱排斥子,即对所有ϕ∈X有limsup∥Ψ(t)(ϕ)−10t→+∞E′∥≥ε.1反证法.假设存在ϕ∈X使得limsup∥Ψ(t)(ϕ)−E′∥<ε.所以存在10t→+∞11t2>0使得∥r(t,x,ϕ1)−S1∥<ε,∥S(t,x,ϕ1)−S1∥<ε,∥I(t,x,ϕ1)∥<ε,∀t≥t2.考虑(3.13)的第三个方程,易得∗It≥d0Ixx+µf1(N−S1−ε)I+β(S1−ε)I−(d+γ)I,∀t≥t2.由于ρ1(ϵ)>0,所以由类似于结论2中的讨论可得limt→+∞I(t,x,ϕ1)=+∞,矛盾.定义连续函数p:Y1→[0,∞]如下：p(ϕ)=min{minS(x),minI(x)},ϕ∈Y1.x∈Ωx∈Ω70 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型显然,p−1(0,∞)⊆X,并且p具有下面的性质：如果p(ϕ)=0且ϕ∈X或00p(ϕ)>0,则p(Ψ(t)ϕ)>0.所以p为半流Ψ(t):Y1→Y1的广义距离函数[135].综合上述讨论,我们可以得到Ψ(t)在M中的任意正半轨收敛到E′或E′,且∂01Ws(E′)∩X=∅,i=0,1,其中Ws(E′)为E′的稳定子集.此外,E′和E′为i0ii01Y中的孤立不变集且没有{E′,E′}的子集在∂X形成环.从而由[135,定理3]1010可得,存在δ>0使得对任意ϕ∈X0,min{p(ψ):ψ∈ω(ϕ)}>δ成立,因此liminfS(t,x,ϕ)≥δ和liminfI(t,x,ϕ)≥δ,∀ϕ∈X0.t→+∞t→+∞由[94,定理4.7]可知Ψ(t)在X0中存在至少一个稳态.假设(r2,S2,I2)为X0中的一个稳态,我们现在证明它是一个正稳态.显然我们只需要证明对所有的x∈Ω有r2(x)>0.反证法.假设存在一些x0∈Ω使得r2(x0)=0.如果x∈Ω,则r′′(x)≥0.所以dr′′(x)+f(N∗−r(x))(S(x)+µI(x))>0,0200201202020矛盾.如果x=0或1,则r′(0)>0或r′(1)<0,矛盾.证毕.022定理3.3.3仅仅只给出了正稳态存在的一个充分条件,正稳态的唯一性和稳定性需要进一步研究.下面的定理给出了一些子系统(3.13)的正稳态的存在性、唯一性和稳定性的充分条件.定理3.3.4.假设RS>1和RIS>1.(i)如果µ=1且γ=0,则系统(3.13)在Y1中存在唯一的全局渐近稳定的正稳态(S,S+,I+).1(ii)当µ→1且γ→0时,系统(3.13)的正稳态收敛到(S,S+,I+).1(iii)存在一个正常数a(µ,γ)<1使得当µ>1−a且γ1,0xx1S所以r=S.因此,I满足对x∈Ω有dI+f(N∗−S)I+β(S−I)I−dI=0,10xx111而由R>1可知其有唯一的正解I+.因此,系统(3.13)有唯一的正稳态IS(S,S+,I+),其中S+=S−I+.1171 西南大学博士学位论文现在,我们讨论正稳态(S,S+,I+)的稳定性.将系统(3.13)在(S,S+,I+)11线性化,并假设ρ∗是上面的线性化算子的一个对应的特征函数为(φ,ϕ,ψ)的特征值,则∗′∗∗d0φxx+f1(N−S1)(ϕ+ψ)−f1(N−S1)S1φ=ρφ,x∈Ω,∗′∗+++∗d0ϕxx+f1(N−S1)ϕ−f1(N−S1)Sφ−βSψ−βIϕ+dψ=ρϕ,x∈Ω,∗′∗+++∗d0ψxx+f1(N−S1)ψ−f1(N−S1)Iφ+βSψ+βIϕ−dψ=ρψ,x∈Ω,(3.18)其中边界条件与(3.9)中的相同.如果φ̸=ϕ+ψ,则由对x∈Ω有d0(φ−ϕ−ψ)=ρ∗(φ−ϕ−ψ)可知ρ∗<0.如果φ=ϕ+ψ̸≡0.则由(3.18)的第xx一个方程可知对x∈Ω有dφ+f(N∗−S)φ−f′(N∗−S)Sφ=ρ∗φ,因0xx11111此ρ∗<0.如果φ=ϕ+ψ≡0,则由(3.18)的第三个方程可得对x∈Ω有dψ+f(N∗−S)ψ+β(S+−I+)ψ−dψ=ρ∗ψ,从而特征值的比较原理暗含0xx11着ρ∗<0.所以,唯一的正稳态局部渐近稳定.最后我们讨论全局吸引性.令n(t,x)=r(t,x)−S(t,x)−I(t,x),则n(t,x)满足对x∈Ω和t>0有nt=d0nxx,从而当t→+∞时n(t,x)→0.所以,对∀ϵ>0,存在t1>0使得对所有t>t1有−ϵt1有r(t,x)−ϵt1.所以,通过类似于定理3.3.2中的讨论可得当t→+∞时r(t,x)→S1.因此存在t2>t1使得对所有t>t2有S1−ϵt2,我们可以得到∗It≥d0Ixx+(f1(N−S1−ϵ)+β(S1−2ϵ−I)−d)I,∗It≤d0Ixx+(f1(N−S1+ϵ)+β(S1+2ϵ−I)−d)I,这暗示了当t→+∞时I(t,x)→I+.因此,我们可以得到当t→+∞时S(t,x)→S+.证毕.3.3.2子系统的正稳态在这一小节,我们进一步研究病毒对正稳态的影响.现在,我们取β作为影响参数并通过利用分支理论[24,25,170]来研究系统(3.13)的正稳态的全局结构.72 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型记C(Ω)={ϕ∈C1(Ω):ϕ(0)=ϕ(1)+αϕ(1)=0},E∗=[C(Ω)]3.假设BxxBRS>1.令ξ=r−S1,ϕ=S1−S,η=I,则系统(3.13)的稳态方程组可以写成如下形式：−dξ=f(N∗−S)(−ϕ+µη)−f′(N∗−S)Sξ+P,x∈Ω,0xx111111−dϕ=f(N∗−S)ϕ+f′(N∗−S)Sξ+βSη−dη+P,x∈Ω,0xx1111112∗−d0ηxx=µf1(N−S1)η+βS1η−(d+γ)η+P3,x∈Ω,ξx(0)=ξx(1)+αξ(1)=0,ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0,ηx(0)=ηx(1)+αη(1)=0,(3.19)其中P=f(N∗−S)(ϕ−S−µη)+f′(N∗−S)Sξ1111111+f(N∗−S−ξ)(S−ϕ+µη),111P=(S−ϕ)(f(N∗−S)−f(N∗−S−ξ))−f′(N∗−S)Sξ−βϕη,211111111P=µf(N∗−S−ξ)η−βϕη−µf(N∗−S)η.31111显然,P=(P1,P2,P3)连续可微,P(0,0,0)=0且Fr´echet导数P(ξ,ϕ,η)(0,0,0)=0.令K为−d0∆在边界条件ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0下的逆算子,并定义紧算子T:R×E∗→E∗如下：+K(f(N∗−S)(−ϕ+µη)−f′(N∗−S)Sξ)+KP111111T(β,ξ,ϕ,η)=K(f1(N∗−S1)ϕ+f′(N∗−S1)S1ξ+βS1η−dη)+KP2.1K(µf(N∗−S)η+βSη−(d+γ)η)+KP1113令G(β,ξ,ϕ,η)=(ξ,ϕ,η)T−T(β,ξ,ϕ,η).显然,G(β,0,0,0)=0,G(β,ξ,ϕ,η)是C1函数,并且G(β,ξ,ϕ,η)=0满足−S<ξ<0,0<ϕ0为特征值问题(3.15)在β=β∗时对应于特征值λ的特征函数,1IS−1∗∗ξ1=η1+γK(η1)−ϕ1=L1(−(1−µ)f1(N−S1)η1−f1(N−S1)γK(η1)),−1∗′∗ϕ1=L1(βS1η1−dη1+f1(N−S1)S1(η1+γK(η1))).在这里,L=−d∆−f(N∗−S)+f′(N∗−S)S,L−1为L在边界条件101111111ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0下的逆算子.此外,∗∗Gβ(ξ,ϕ,η)(β,0,0,0)(ξ1,ϕ1,η1)=(0,−K(S1η1),−K(S1η1))̸∈R(G(ξ,ϕ,η)(β,0,0,0)).所以(β∗,0,0,0)是G(β,ξ,ϕ,η)的一个分支点且下面的结论成立.引理3.3.1.假设RS>1.则(3.13)的正稳态从{(β,S1,S1,0):β>0}分支出来当且仅当β=β∗,并且对一些δ>0,(3.13)在(β∗,S,S,0)附近的正011稳态集在下面的光滑曲线上：Γ1={(β(ϵ),S1+ϵ(ξ1+ξb(ϵ)),S1−ϵ(ϕ1+ϕb(ϵ)),ϵ(η1+ηb(ϵ))):ϵ∈(0,δ0)},其中β(0)=β∗,ξb(0)=ϕb(0)=ηb(0)=0,(ξb(ϵ),ϕb(ϵ),ηb(ϵ))∈Z且E∗=⊕span{(ξ1,ϕ1,η1)}Z.∫1定理3.3.5.假设R>1.如果µ满足η2(µf′(N∗−S)ξ+β∗ϕ)dx>0S01111∫1或µf′(N∗−S)≤β∗,则正稳态分支Γ是向右且稳定的.如果1η2(µf′(N∗−111011S)ξ+β∗ϕ)dx<0,则正稳态分支Γ是向左且不稳定的,这暗含了正稳态的行1111为像后向分支.证明将正稳态(β(ϵ),r(ϵ),S(ϵ),I(ϵ))代入(3.13)的稳态方程组并将第三个稳态方程关于ϵ在ϵ=0处微分两次,从而可得∗∗′∗∗d0Iϵϵxx+(µf1(N−S1)+βS1−(d+γ))Iϵϵ−2µf1(N−S1)Iϵrϵ+2βϵS1Iϵ+2βSϵIϵ=0.将上面的方程左右两边同乘以η1并在Ω上积分可得∫1′∗∗(µf1(N−S1)Iϵrϵ−βϵS1Iϵ−βSϵIϵ)η1dx=0.074 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型∫∫1(µf′(N∗−S∗1′∗∗21)Iϵ(0)rϵ(0)−βSϵ(0)Iϵ(0))η1dx(µf(N−S1)ξ1+βϕ1)ηdx所以β(0)=01∫=01∫1.ϵ1S121Iϵ(0)η1dxS1ηdx001显然,ξ<0,ξ+ϕ>0,所以当µf′(N∗−S)≤β∗时β(0)>0.11111ϵ现在,我们讨论Γ1上的正稳态的稳定性.令L(β(ϵ),r(ϵ),S(ϵ),I(ϵ))为(3.13)的稳态方程组在(β(ϵ),r(ϵ),S(ϵ),I(ϵ))处的线性算子.由[25,推论1.13]可知存在分别定义在β∗和0的邻域并映射到R×E∗的连续可微函数β→(ω(β),Λ(β))11和ϵ→(ω(ϵ),Λ(ϵ)),使得(ω(β∗),Λ(β∗))=(ω(0),Λ(0))=(0,ξ,ϕ,η)和221122111∗L(β,S1,S1,0)Λ1(β)=ω1(β)Λ1(β),|β−β|≪1,L(β(ϵ),r(ϵ),S(ϵ),I(ϵ))Λ2(ϵ)=ω2(ϵ)Λ2(ϵ),|ϵ|≪1,所以由[25,定理1.16]可得当0<ϵ<δ时ω(ϵ)∼−ϵβ(ϵ)ω(β∗).由于02ϵ1β|β−β∗|≪1,易得ω(β)是下面问题的简单特征值1∗d0φxx+(µf1(N−S1)+βS1−(d+γ))φ=ω1(β)φ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,这暗示了ω(β∗)>0.因为对0<ϵ<δ有sgn(ω(ϵ))=−sgn(β),所以结论1β02ϵ显然成立.我们现在研究局部分支Γ的全局结构.记π∗<0为下面特征值问题的本1原特征值：∗∗d0ψxx+(µf1(N−S1)−(d+γ))ψ=πψ,x∈Ω;ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0.则{∫∫}11∗22∗∗2π=max−d0αψ(1)−d0ψxdx+(µf1(N−S)−(d+γ))ψdx.ψ∈H1(Ω),00ψ̸=0,∫1ψ2dx=10考虑特征值问题λdψ+(µf(N∗−S)+β(λ)S−(d+γ))ψ=0,x∈Ω,0xx11i1ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0,其中λ≥1.显然,β(λ)在(1,+∞)上关于λ严格递增且β(1)=β∗.由π∗的i1表示易得0<β1(λ)<β2(λ)≤β3(λ)≤···→+∞.令L(β)=T(ξ,ϕ,η)(β,0,0,0)−f′(N∗−S)S−f(N∗−S)µf(N∗−S)1111111=Kf′(N∗−S1)S1f1(N∗−S1)βS1−d.100µf(N∗−S)+βS−(d+γ)11175 西南大学博士学位论文假设λ为算子L(β)的一个对应的特征函数为(ξ,ϕ,η)的特征值,则′∗∗∗λd0ξxx−f1(N−S1)S1ξ−f1(N−S1)ϕ+µf1(N−S1)η=0,x∈Ω,′∗∗λd0ϕxx+f1(N−S1)S1ξ+f1(N−S1)ϕ+(βS1−d)η=0,x∈Ω,∗λd0ηxx+(µf1(N−S1)+βS1−(d+γ))η=0,x∈Ω,(3.20)其中边界条件与(3.9)中的相同.假设λ≥1,η=0,则(3.20)变为λdξ−f′(N∗−S)Sξ−f(N∗−S)ϕ=0,x∈Ω,0xx11111λdϕ+f′(N∗−S)Sξ+f(N∗−S)ϕ=0,x∈Ω.0xx11111所以对x∈Ω有λd0(ξ+ϕ)xx=0,因而ξ+ϕ=0.因此ϕ满足∗′∗λd0ϕxx+f1(N−S1)ϕ−f1(N−S1)S1ϕ=0,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.由于λd∆+f(N∗−S)−f′(N∗−S)S在上面的边界条件下可逆,所以ϕ=0.011111因此λ≥1是(3.20)的特征值当且仅当对一些i=1,2···有β=βi(λ).如果β<β∗,则对所有的λ≥1和i≥1有β<β(1)≤β(λ).所以L(β)1i没有大于或等于1的特征值,这暗示了index(T(β,·),(0,0,0))=1.如果β∗<β<β(1),则对所有λ≥1和i≥2有β<β(λ).因为2iβ(1)=β∗,limβ(λ)=+∞,且β(λ)关于λ单调递增,所以存在唯一的1λ→+∞11λ∗>1使得β=β(λ∗).易得N(λ∗I−L(β))=span{(ξ,ϕ,η)T},其中η>012222为下面特征值问题的本原特征函数∗∗λd0ηxx+(µf1(N−S1)+βS1−d−γ)η=0,x∈Ω;ηx(0)=ηx(1)+αη(1)=0,并且(ξ,ϕ)为(3.20)在λ=λ∗和η=η时的唯一解.222现在,我们证明N(λ∗I−L(β))∩R(λ∗I−L(β))={(0,0,0)T}.反证法,假设存在(ξ,ϕ,η)∈E∗使得(λ∗I−L(β))(ξ,ϕ,η)T=(ξ,ϕ,η)T.则η满足222∗∗λd0ηxx+(µf1(N−S1)+βS1−d−γ)η=d0η2xx,x∈Ω;ηx(0)=ηx(1)+αη(1)=0.∫1将上面方程的两边同乘以η2并在Ω上积分可得0η2η2xxdx=0,这暗示了特征值问题d0ηxx=σ∗η,x∈Ω;ηx(0)=ηx(1)+αη(1)=0,的本原特征值大于或等于0,矛盾.所以,λ∗是L(β)的重数为1的特征值,因而index(T(β,·),(0,0,0))=−1.76 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型通过利用全局分支定理[129][170],我们得到存在一个在R×E∗内从(β∗,S,S,0)+11分支出的系统(3.13)的稳态的连续统Γ,且其满足下面的三者之一:(i)Γ连接(β,S,S,0),其中β̸=β∗.1111(ii)Γ在R×E∗内连接到∞.+(iii)Γ包含一对(β,S1−r,S1−S,I)和(β,S1+r,S1+S,−I)形式的点,其中(r,S,I)̸≡(0,0,0).此外,Γ在(β∗,S,S,0)附近由正稳态分支Γ构成.111定理3.3.6.假设RS>1.则连续统Γ在β方向延拓到正无穷,并且Γ−{(β∗,S,S,0)}由系统(3.13)在R×E∗内的正稳态组成.11+证明令C=Γ−{(β∗,S,S,0)},P={(β,r,S,I)∈R×E∗:在Ω上r>111+0,S>0,I>0},则在(β∗,S,S,0)的小邻域内C⊆P.现在,我们证明C⊆P.1111反证法.假设存在(β,r,S,I)∈C1∩∂P,且其是序列{(βi,ri,Si,Ii)}⊂Γ∩P,i=1,2····的极限.由于(β,r,S,I)∈C1∩∂P,所以存在x0∈Ω使得下面之一成立:(1)r≥0,r(x0)=0;(2)S≥0,S(x0)=0;(3)I≥0,I(x0)=0.通过对系统(3.13)的稳态方程组利用极大值原理可得当(1)或(2)成立时r≡S≡I≡0,当(3)成立时(r,S,I)=(S1,S1,0)或(0,0,0).记σ∗(ϵ)为下面特征值问题的本原特征值:∗∗d0ϕxx+f1(N−ϵ)ϕ=σ(ϵ)ϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.因为λ>0,易得对充分小的ϵ>0有σ∗(ϵ)>0.从而下面的问题S∗d0uxx+f1(N−ϵ−u)u=0,x∈Ω;ux(0)=ux(1)+αu(1)=0.有唯一正解u(ϵ).首先,我们考虑情况:r≡S≡I≡0.显然当i→+∞时(βi,ri,Si,Ii)→(β,0,0,0).所以存在M0>0使得对任意i>M0和x∈Ω有d−βiSi>0,ri<ϵ.因此,对所有i>M0,我们有∗∗0=d0Sixx+f1(N−ri)Si−βiSiIi+dIi≥d0Sixx+f1(N−ϵ−Si)Si,从而由比较原理可得对所有i>M0有Si≥u(ϵ)>0,矛盾.77 西南大学博士学位论文其次,考虑(r,S,I)=(S1,S1,0)的情况.显然当i→+∞时(βi,ri,Si,Ii)→(β,S1,S1,0).令ωi=Ii/∥Ii∥∞,则ωi满足∗d0ωixx+(µf1(N−ri)+βiSi−(d+γ))ωi=0,x∈Ω;ωix(0)=ωix(1)+αωi(1)=0.根据Lp估计和Sobolev嵌入定理(必要时取一个子列),我们可以假设存在ω∈CB(Ω),其中ω满足∥ω∥=1,ω≥0和∗d0ωxx+(µf1(N−S1)+βS1−(d+γ))ω=0,x∈Ω;ωx(0)=ωx(1)+αω(1)=0.所以由极大值原理可得在Ω上ω>0,这暗示了β=β∗,矛盾.综合上述讨论可得C⊆P,并且Γ在R×E∗上连接到∞.由引理3.2.71+可知存在与β无关的常数M>0使得∥r∥,∥S∥,∥I∥≤M.所以唯一的可能性是β延拓到+∞.证毕.下面,我们研究当β→+∞时正稳态的收敛性.我们现在定义物种I通过吸收营养物所对应的基本再生数:{∫}1µf(N∗)φ2dx01RI=sup∫1,φ∈H1(Ω),φ̸=0,γ+d0(αφ2(1)+φ2xdx)∫01φ2dx=10其对应于d=0和没有易感者的情况.则RI−1和λI具有相同的符号,其中λI为下面特征值问题的本原特征值:∗d0ϕxx+µf1(N)ϕ−γϕ=λIϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.由[38,定理1.3和1.4]可得系统0=d0Nxx−µf1(N)I,x∈Ω,0=d0Ixx+µf1(N)I−γI,x∈Ω,(3.21)0Nx(0)=−N,Nx(1)+αN(1)=Ix(0)=Ix(1)+αI(1)=0,当R>1时存在唯一正解(N,I),并且当R<1时只有(N∗,0)解.I55I定理3.3.7.假设RS>1.则下面的结论成立.(i)存在m∗>0使得对任意βm∗,系统(3.13)存在至少一个正稳态.假设β>m∗,当i→+∞时β→+∞,并且(r,S,I)是(3.13)对应于1iiiiβ=βi的正稳态.则当βi→+∞时Si→0在Ω上几乎处处成立.此外,当RI<1时(ri,Si,Ii)在C(Ω)上收敛到(0,0,0);当RI>1时,对所有的1≤p<+∞,(r,S,I)在Lp(Ω)上收敛到(N∗−N,0,I).iii5578 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型证明如果当β=βi时系统(3.13)存在至少一个正稳态,则任意选取其中之一并将记其为(ri,Si,Ii).所以,∗∗0=d0rixx+f1(N−ri)Si+µf1(N−ri)Ii,∗(3.22)0=d0Sixx+f1(N−ri)Si−βiSiIi+dIi,∗0=d0Iixx+µf1(N−ri)Ii+βiSiIi−(d+γ)Ii,其中边界条件与(3.9)中的相同.(i)反证法.假设存在一些βi>0使得系统(3.13)当β=βi时至少存在一个正稳态,其中βi还满足当i→+∞时βi→0.由正稳态的有界性可知,存在M0>0使得对所有i>M0有d+γ>βi(Si+Ii).所以对任意i>M0,由(3.22)的第二个方程可得∫10=(Sid0Iixx−Iid0Sixx)dx0∫1∗2=((1−µ)f1(N−ri)IiSi+dIi+SiIi(d+γ−βi(Si+Ii)))dx>0,0矛盾.因而结论成立.(ii)注意到R>1当且仅当β>β∗.从而由定理3.3.3可得对任意的ISβ>β∗,系统(3.13)至少存在一个正稳态,这可以确保m∗存在.令P=S+I,则P满足对x∈Ω有dP+f(N∗−r)S+µf(N∗−iiii0ixx1ii1r)I−γI=0.所以由引理3.2.7可得{P}和{r}在L∞有界.由LP估计iiiixxixx和Sobolev嵌入定理(必要时取一子列),我们可以假设存在r0,P0∈CB(Ω)使得当i→+∞时在C1(Ω)上r→r≥0,P→P≥0.i0i0由(3.22)的第三个方程易得0是下面特征值问题的本原特征值:dφ+µf(N∗−r)φ+βSφ−(d+γ)φ=τφ,x∈Ω,0xx1iii1(3.23)φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,其中ri和Si为(3.22)对应于βi的正解.所以2∫12∫1∗2−αd0φ(1)−d00φxdx+0[µf1(N−ri)+βiSi−(d+γ)]φdx0=sup∫.12φ∈H1(Ω),φ̸=0φdx0取一个函数ϕ∈CB(Ω),其满足对一些常数θ>0在Ω上有ϕ≥θ>0.因此,我79 西南大学博士学位论文们有∫12∫12∫1∗2αd0ϕ(1)+d00ϕxdx−0[µf1(N−ri)−(d+γ)]ϕdxSidx≤βiθ202∫12∫12αd0ϕ(1)+d00ϕxdx+0(d+γ)ϕdx≤.βiθ2∫1所以,limi→+∞0Sidx=0,这意味着当i→+∞时Si→S0=0,a.e.注意到∥S∥有界,因此当i→+∞时,对所有的1≤p<+∞,在Lp(Ω)上都有i∞Si→0.因为Pi=Si+Ii,所以我们假设当i→+∞时,对所有的1≤p<+∞,在Lp(Ω)上都有I→I≥0(必要时选取一子列).由引理3.2.7易得r,P,S,i0000I0≤S1.因为f是C1的且∥f(N∗−r)∥<+∞,所以我们假设当i→+∞时在11i∞C1(Ω)上f(N∗−r)→f(N∗−r)(必要时选取一子列).注意：1i10∗∗d0Pixx+(µf1(N−ri)−γ)Pi+((1−µ)f1(N−ri)+γ)Si=0,x∈Ω.将上面方程的两边同乘以φ∈C∞(Ω)并在Ω上积分可得0∫1∫1∫1∗∗−d0φxPixdx+(µf1(N−ri)−γ)Piφdx+((1−µ)f1(N−ri)+γ)Siφdx=0.000令i→+∞,则P0满足∫1∫1∗−d0φxP0xdx+(µf1(N−r0)−γ)P0φdx=0.00所以,P0是下面问题的一个弱解：∗d0P0xx+µf1(N−r0)P0−γP0=0,x∈Ω;P0x(0)=P0x(1)+αP0(1)=0(3.24).因为r满足对x∈Ω有dr+µf(N∗−r)P+(1−µ)f(N∗−r)S=0,所i0ixx1ii1ii以,类似地,我们可以得到r0是下面问题的一个弱解:∗d0r0xx+µf1(N−r0)P0=0,x∈Ω;r0x(0)=r0x(1)+αr0(1)=0.(3.25)显然,系统(3.24)和(3.25)与系统(3.21)等价(通过变换N=N∗−r).所以,0当R>1时(r,P)=(N∗−N,I)或(0,0),当R<1时(r,P)=(0,0).因I0055I00此,如果R<1,则当i→+∞时,在C1(Ω)上r→0,P→0,这暗示了当Iiii→+∞时在C(Ω)上Si→0,Ii→0.80 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型当RI>1时,我们可得P0̸≡0.假设其不成立,则当i→+∞时,在C1(Ω)上P→0,这就意味着当i→+∞时在C(Ω)上S→0,I→0.将iii(3.22)的第一个方程的两边同乘以φ∈C∞(Ω),并令i→+∞,我们可以得到0∫10φxr0xdx=0.因此r0为下面系统的一个弱解：d0r0xx=0,x∈Ω;r0x(0)=r0x(1)+αr0(1)=0.所以r=0,则当i→+∞时在C1(Ω)上r→0.我们现在考虑{S/P}.显然,0iii0≤∥Si/Pi∥∞≤1.将(3.22)的第三个方程的左右两边同除以Ii并在Ω上积分,我们有∫1∫1Iix2∗d0||dx−d0α+(µf1(N−ri)+βiSi)dx−(d+γ)=0,0Ii0这暗示了{I/I}在L2上有界.因为I≤P,所以{I/P}在L2上有界.类ixiiiixi似地,我们可以得到{P/P}在L2上有界.注意到P=S+I,根据上面的结ixiiii果易得{S/P}在W1,2上有界.所以,我们假设(必要时取一子列)当i→+∞ii时在L2上S/P→ν(x),其中0≤ν(x)≤1.ii令Pi=Pi/∥Pi∥∞,则Pi满足∗∗SiPi0=d0Pixx+(µf1(N−ri)−γ)Pi+(γ+(1−µ)f1(N−ri)),Pi其中边界条件为P(0)=P(1)+αP(1)=0.根据Lp估计和Sobolev嵌入定ixixi理,我们可以假设存在P∈C(Ω)使得当i→+∞时在C1(Ω)上P→P(必Bi要时取一子列),P≥0,P̸≡0,并且P满足∗∗d0Pxx+(µf1(N)−γ)P+(γ+(1−µ)f1(N))ν(x)P=0,x∈Ω.所以下面系统的本原特征值小于或等于0：∗d0φxx+(µf1(N)−γ)φ=τ2φ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,矛盾.因此,我们可以得到当i→+∞时在C1(Ω)上r→N∗−N,P→I,这i5i5就意味着对所有的1≤p<+∞,当i→+∞时在Lp(Ω)上I=P−S→I.iii5证毕.3.4全系统的动力学性态在这一节,我们首先研究全系统(3.1)-(3.3)的正稳态的存在性,然后研究全系统的全局动态.81 西南大学博士学位论文为了应用度理论,我们先给出下面的标记:44C+(Ω)={u∈CB(Ω):在Ω上u(x)≥0},E=[CB(Ω)],W=[C+(Ω)],D1={(r,S,I,B)∈E:r≤a1,S≤a1,I≤a1,B≤a2},D=(intD1)∩W,其中a1=maxS1+1,a2=maxB3+1.定义紧正算子F:E→E如下：x∈Ωx∈Ωf(N∗−r)(S+µI)+f(N∗−r)B+M∗r12f(N∗−r)S−βSI+dI+M∗SF(r,S,I,B)=(−d∆+M∗)−11,0∗∗µf1(N−r)I+βSI−(d+γ)I+MIf(N∗−r)B+M∗B2其中M∗是一个充分大的正常数且使得对所有(r,S,I,B)∈D有M∗−f′(N∗−1r)(S+µI)−f′(N∗−r)B>0,M∗+f(N∗−r)−βI>0,和M∗+µf(N∗−211r)+βS−(d+γ)>0,并记(−d∆+M∗)−1为−d∆+M∗在边界条件ϕ(0)=00xϕx(1)+αϕx(1)=0下的逆算子.易得(r,S,I,B)是(3.9)的非负解当且仅当它是F在D内的不动点.记σ为下面特征值问题的本原特征值:∗d0ψxx+µf1(N)ψ−(d+r)ψ=σψ,x∈Ω;ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0.(3.26)引理3.4.1.(1)degW(I−F,D)=1.(2)假设RS̸=1,RB̸=1.则当RS<1时indexW(F,(0,0,0,0))=1;当RS>1或RB>1或σ>0时indexW(F,(0,0,0,0))=0.证明(1)由于算子F在∂D上没有不动点,所以degW(I−F,D)有明确的定义.对s∈[0,1],定义Fs:E→E如下：s((S+µI)f(N∗−r)+f(N∗−r)B)+M∗r12s(f(N∗−r)S−βSI+dI)+M∗SF(r,S,I,B)=K1,s1∗∗s(µf1(N−r)I+βSI−(d+γ)I)+MIs(f(N∗−r)B)+M∗B2其中K=(−d∆+M∗)−1.则F=F,F=(−d∆+M∗)−1M∗(r,S,I,B)T.10100通过类似于[172,引理3.6]中的讨论可得对所有s∈[0,1],degW(I−Fs,D)都有82 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型明确的定义,并且degW(I−F0,D)=1.因此,由度的同伦不变性可得degW(I−F,D)=degW(I−F0,D)=1.(2)令y=(0,0,0,0),则Wy={(r,S,I,B)∈E:r≥0,S≥0,I≥0,B≥0},Z=(0,0,0,0).所以,X=E,Q=I.令F′(0,0,0,0)为F关于(r,S,I,B)yy在(0,0,0,0)处的Fr´echet导数.假设λ是F′(0,0,0,0)的一个对应特征函数为(r,S,I,B)的特征值,则∗1∗∗∗−d0rxx+Mr=((S+µI)f1(N)+f2(N)B)+Mr),λ1−dS+M∗S=(f(N∗)S+dI+M∗S),0xx1λ(3.27)∗1∗∗−d0Ixx+MI=(µf1(N)I−(d+γ)I+MI),λ∗1∗∗−d0Bxx+MB=(f2(N)B+MB),λ其中边界条件与(3.9)中的相同.假设R̸=1,R̸=1,λ=1是F′(0,0,0,0)的一个对应特征函数为SB(r,S,I,B)∈Wy的特征值.如果σ̸=0或σ=0且I=0,易得r=S=I=B=0.如果σ=0且I̸≡0,易得I是特征值问题(3.26)的一个特征函数,这暗含了对所有的x∈Ω有I>0.因此,由(3.27)的方程我们能够得到∫1∫10=Id0Sxxdx−Sd0Ixxdx00∫1∗2=(−(1−µ)f1(N)IS−dI−(d+γ)SI)dx<0,0矛盾.所以,I−F′(0,0,0,0)在W上是可逆的.y我们现在考虑特征值问题(3.27).如果B̸≡0,则λ为下面特征值问题的一个特征值：∗1∗∗−d0Bxx+MB=(f2(N)+M)B,x∈Ω;Bx(0)=Bx(1)+αB(1)=0.(3.28)λ由引理3.2.3易得当λB<0时(3.28)没有大于或等于1的特征值,当λB>0时(3.28)有大于1的特征值.所以,当λ<0时F′(0,0,0,0)没有大于或等于B1的特征值；当λ>0时,F′(0,0,0,0)有一个大于1的对应的特征函数的形式B为(r,0,0,B)的特征值.如果B≡0且I̸≡0.通过对(3.27)的第三个方程应用引理3.2.3可得：当σ<0时F′(0,0,0,0)没有大于或等于1的特征值；当σ>0时,F′(0,0,0,0)有大于1的对应的特征函数形式为(r,S,I,0)的特征值.83 西南大学博士学位论文如果B=I≡0且S̸≡0.同样地,我们能够得到：当λ<0时,F′(0,0,0,0)S没有大于或等于1的特征值；当λ>0时,F′(0,0,0,0)有大于1的特征值.S如果B=I=S≡0.则特征值问题可以写成：M∗r∗−d0rxx+Mr=,x∈Ω;rx(0)=rx(1)+αr(1)=0.λ由于−dr=λr的本原特征值大于零,所以F′(0,0,0,0)没有大于或等于1的0xx特征值.显然由特征值的比较原理可得：如果λS<0,则λB<0,σ<0.注意到RS−1和RB−1分别与λS和λB具有相同的符号.所以,由引理3.2.1可得：当RS<1时,indexW(F,(0,0,0,0))=1；当RS>1或RB>1或σ>0时,indexW(F,(0,0,0,0))=0.引理3.4.2.假设RS>1.如果RIS>1,则indexW(F,(S1,S1,0,0))=0.如果RIS<1,则indexW(F,(S1,S1,0,0))=1.证明令y=(S1,S1,0,0).则Wy={(r,S,I,B)∈E:I≥0,B≥0},Zy={(r,S,0,0):r,S∈CB(Ω)}.定义Xy={(0,0,I,B):I,B∈CB(Ω)}.易得⊕E=ZX,其射影Q:(r,S,I,B)→(0,0,I,B).记F′(S,S,0,0)为F关于yy11(r,S,I,B)在(S1,S1,0,0)处的Fr´echet导数.假设1是F′(S,S,0,0)的一个对应特征函数为(r,S,I,B)∈W的特征11y值,则0=dr+f(N∗−S)(S+µI)−f′(N∗−S)Sr+f(N∗−S)B,x∈Ω,0xx11111210=dS+f(N∗−S)S−f′(N∗−S)Sr−βSI+dI,x∈Ω,0xx1111110=dI+µf(N∗−S)I+βSI−(d+γ)I,x∈Ω,0xx1110=dB+f(N∗−S)B,x∈Ω,0xx21(3.29)其中边界条件与(3.9)中的相同.因为对x∈Ω有dS∗+f(N∗−S)S=0,01xx111所以下面两个特征值问题的本原特征值都小于0：∗d0φxx+f2(N−S1)φ=δ1φ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0,∗′∗d0ψxx+f1(N−S1)ψ−f1(N−S1)S1ψ=δ2ψx∈Ω;ψx(0)=ψx(1)+αψ(1)=0.易得当RIS̸=1时B=I≡0.所以(3.29)可以写成：0=dr+f(N∗−S)S−f′(N∗−S)Sr,x∈Ω,0xx111110=dS+f(N∗−S)S−f′(N∗−S)Sr,x∈Ω,0xx1111184 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型其中边界条件与(3.9)中的相同,这暗示了对x∈Ω有d0(r−S)xx=0,所以r=S.因此,r满足对x∈Ω有dr+f(N∗−S)r−f′(N∗−S)Sr=0,由0xx11111此可导出r=0.所以,1不是F′(S,S,0,0)的特征值,I−F′(S,S,0,0)在W1111y上是可逆的,并且当RIS̸=1时indexW(F,y)有明确的定义.现在,我们研究Q◦F′(S,S,0,0)的特征值.通过类似于引理3.4.1中的11讨论可得：当R>1时,Q◦F′(S,S,0,0)有大于1的特征值；当R<1IS11IS时,它没有大于或等于1的特征值.所以,由引理3.2.1可得：当RIS<1时,index(F,(S,S,0,0))=index(F′(S,S,0,0),(0,0,0,0))=(−1)κ,其中κW11Zy11为F′(S,S,0,0)在Z内使得λ>1的特征值λ的重数之和；当R>1时,11yISindexW(F,(S1,S1,0,0))=0.接下来,我们证明当R<1时κ=0.假设λ为F′(S,S,0,0)在Z内IS11y的一个对应特征函数为(r,S,0,0)的特征值,则r,S满:−dr+M∗r=1(f(N∗−S)S−f′(N∗−S)Sr+M∗r),x∈Ω,0xx11111λ∗1∗′∗∗−d0Sxx+MS=(f1(N−S1)S−f1(N−S1)S1r+MS),x∈Ω,λ其中边界条件与(3.9)中的相同.令u=r−S,则u满足对x∈Ω有−d0uxx+M∗u=M∗u/λ,由引理3.2.3可得其没有大于或等于1的特征值.所以如果对x∈Ω有u̸≡0,则κ=0.如果u≡0,则r=S.所以r满足对x∈Ω有−dr+M∗r=(f(N∗−S)r−f′(N∗−S)Sr+M∗r)/λ,由此也可以推出0xx11111κ=0.证毕.通过类似于引理3.4.1和3.4.2中的讨论可知,下面的引理成立.引理3.4.3.假设RB>1,则indexW(F,(B3,0,0,B3))=0.令U={(r2,S2,I2,0):(r2,S2,I2)是(3.13)的正稳态}.对任意(r2,S2,I2,0)∈U,记ϱ为下面特征值问题的本原特征值:∗d0ϕxx+f2(N−r2)ϕ=ϱϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.令λinf=inf{ϱ}和λsup=sup{ϱ}.通过类似于[172,引理3.10]中的讨论和不动点指数的可加性,我们可以建立下面的引理.引理3.4.4.假设RS>1,RIS>1.则下面的结论成立.(i)如果λinf>0,则degW(I−F,U)=0.85 西南大学博士学位论文(ii)如果λsup<0,则degW(I−F,U)=1.定理3.4.1.假设RB>1,RIS>1和λinf>0.则系统(3.1)-(3.3)至少存在一个正稳态(N4,S4,I4,B4).证明显然由RB>1可得RS>1.假设系统(3.9)并不存在正解,则由不动点指数的可加性理论可得degW(I−F,D)=indexW(F,(0,0,0,0))+indexW(F,(S1,S1,0,0))+indexW(F,(B3,0,0,B3))+degW(I−F,U)=0̸=1,矛盾.所以系统(3.9)至少存在一个正解(r,S,I,B).令N=N∗−r,定理444444得证.下面,我们首先给出正稳态存在的一些充分条件,然后研究系统(3.1)−(3.3)的正解的渐近行为.记τ∗为下面特征值问题的本原特征值:∗d0ϕxx+f2(N5)ϕ=τϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.定理3.4.2.假设RB>1,则下面的结论成立.(i)如果R>1且τ∗>0,则存在充分大的m+>0使得系统(3.1)−(3.3)对任I意β>m+至少存在一个正稳态.(ii)如果RI<1,则(i)的结论也成立.(iii)假设RI̸=1.如果µ充分小并且使得µf1(N5)−γ≤f2(N5),µf1(N5)−γ̸≡f2(N5),则(i)的结论也成立.证明显然R>1.则对任意β>β∗,我们有R>1并且系统(3.13)存在SIS至少一个正稳态.假设(rβ,Sβ,Iβ)是系统(3.13)的一个正稳态.(i)由于τ∗>0,所以存在充分小的ϵ>0使得τ∗(ϵ)>0,其中τ∗(ϵ)是下面特征值问题的本原特征值:∗d0ϕxx+f2(N5−ϵ)ϕ=τ(ϵ)ϕ,x∈Ω;ϕx(0)=ϕx(1)+αϕ(1)=0.从而由定理3.3.7中的讨论可得当R>1时在C1(Ω)内当β→+∞时r→IβN∗−N.所以存在m+≥β∗使得对任意β>m+有r0.因此由定理3.4.1可知结论成立.86 第3章一个水生系统中具有病毒的竞争非搅拌恒化器模型(ii)当R<1时,由定理3.3.7可知当β→+∞时在C1(Ω)上r→0.Iβ所以,对∀ϵ>0充分小,存在m+≥β∗使得对任意β>m+有r<ϵ.因为βRB>1,所以由特征值的比较原理可得λinf>0.因此结论成立.(iii)由(i),(ii)和特征值的比较原理可知此结论显然成立.定理3.4.3.(i)如果R<1,则E=(N∗,0,0,0)在Y内全局渐近稳定.S0如果R>1或R>1,则E=(N∗,0,0,0)不稳定.SB0(ii)假设RS>1.如果RIS<1,则E1=(N1,S1,0,0)局部渐近稳定;如果RIS>1,则E1=(N1,S1,0,0)不稳定.此外,如果σ<0,则E1=(N1,S1,0,0)在Y内部全局渐近稳定.(iii)如果RB>1,则E3=(N3,0,0,B3)不稳定.(iv)如果RB>1且RIS>1.则易感物种S和感染物种I都持续.证明因为系统(3.1)−(3.3)可以重写成(3.5),所以E=(N∗,0,0,0),0E1=(N1,S1,0,0),E3=(N3,0,0,B3)的稳定性分别与系统(3.5)中(0,0,0,0),(S1,S1,0,0),(B3,0,0,B3)的稳定性等价.(i)这个结论的证明与定理3.3.1中的讨论类似,这里不再重复.(ii)根据定理3.3.2中类似的讨论,易得E1的局部稳定性.我们现在研究E1的全局吸引性.由类似于定理3.3.2中的讨论,我们可以得到当t→+∞时limr≤S∗,limS≤S∗和I(t,x)→0,其中收敛性是一致的.所以对t→+∞t→+∞任意充分小的ϵ>0,存在t1>0使得对所有t>t1有r≤S1+ϵ,S≤S1+ϵ和I(t,x)≤ϵ.令ω=B/S,则ω(t,x)满足Sxωt=d0ωxx+2d0ωx+C(t,x)ω,t>0,x∈Ω;ωx(t,0)=ωx(t,1)=0,S其中C(t,x)=f(N∗−r)−f(N∗−r)+βI−dI/S≤f(N∗−r)−f(N∗−r)+βI.2121因为对所有N>0有f(N)t有N∗−S−ϵ≤N∗−r≤N∗2111和I(t,x)≤ϵ,所以存在δ∗>0使得对所有t≥t1,x∈Ω有C(t,x)≤−δ∗.令ω(t,x)=b(t,x)ea(t−t1),则b(t,x)满足Sxbt=d0bxx+2d0bx+(C(t,x)−a)b,t>0,x∈Ω;bx(t,0)=bx(t,1)=0.S选取−δ∗0有a(t−t1)atB(t,x)≤S(t,x)b(t1,x)e≤M1e.87 西南大学博士学位论文所以当t→+∞时B(t,x)→0,其中收敛性是一致的.剩下的讨论与定理3.3.2中的类似,这里不再重复.(iii)通过标准的线性化方法,易得对应的特征值问题有一个对应特征函数形式为(ϕ,φ,0,ξ)的特征值ν>0,其中ν是下面特征值问题的对应特征函数φ>0的本原特征值∗d0φxx+f1(N−B3)φ=νφ,x∈Ω;φx(0)=φx(1)+αφ(1)=0.所以(B3,0,0,B3)不稳定.(iv)通过类似于定理3.3.3中的讨论和(ii)的方法,此结论也显然成立.3.5结论和讨论在这一章中,我们建立了一个非搅拌恒化器模型来研究水生栖息地中病毒对两个竞争物种的影响.首先研究了病毒对单物种的影响.我们得到当基本再生数R<1时,物种将灭绝.当R>1,存在一个半平凡的稳态E′,且其当入侵基SS1本再生数R>1时不稳定.同时得到了当R<1时E′的全局稳定性的一些ISIS1充分条件.当RIS>1时,我们建立了易感物种和感染物种的持续性条件,并给出了一些正稳态的唯一性和稳定性的充分条件.通过利用感染能力β作为分支参数,我们又讨论了正稳态分支的全局结构.我们的结果显示在一些条件下,正稳态分支图在RIS=1附近呈现类似后向分支的现象,这中现象在同质状态下是不存在的[111].我们同时又研究了当β→+∞时,正稳态的收敛性.我们发现易感物种将几乎处处收敛到零,并且正稳态收敛到没有易感物种且病毒的消除速率d等于0的系统的稳态.为了研究病毒对竞争收益的影响,我们后面又通过利用不动点指数理论得到了一些整个系统正稳态存在的充分条件.通过类似于定理3.3.7的方法,我们应该也可以得到当β→+∞时,易感物种几乎处处收敛到0.如果我们用稳态的物种数量作为竞争收益的度量,则我们可以得到病毒可以逆转竞争收益.通过类似于定理3.4.3中的方法,易得当病毒不存在时物种S和B不能共存.定理3.4.2显示当β充分大时,正稳态可能存在,因此病毒可以调谐异质环境中物种的共存且能增强细菌的多样性.对于对应的ODE系统[111],只有当抗性物种是一个中间的竞争者时(即：RI0((µf1(N5)−γ)I5)dx时共存是可能的.所以扩散可以调谐共存,即使在[0,1]上的一些点或区间上有µf1(N5)(x)−γ>f2(N5)(x)时仍有可能.注意R和R依赖N∗但τ∗依赖N.如果我们选择一种极端的情况：N∗IB5和N满足minN∗≥maxN,对x∈[minN∗,maxN∗]有µf(x)−γ>f(x),5512对x∈[0,maxR5]有µf1(x)−γ≤f2(x).则我们可以得到：对充分小的γ有R>R和τ∗>0,这暗示了三个物种可能共存.因此,这种情况与R0,vt=d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2u),g2(t)0,g′(t)=−µu(t,g(t)),s′(t)=−µu(t,s(t))t>0,11x111x1(4.1)′′g2(t)=−µ2vx(t,g2(t)),s2(t)=−µ2vx(t,s2(t))t>0,u≡0,x̸∈(g1(t),s1(t)),t≥0;v≡0,x̸∈(g2(t),s2(t)),t≥0,0−gi(0)=si(0)=si,(i=1,2);u(0,x)=u0(x),v(0,x)=v0(x),其中u(t,x)和v(t,x)分别表示t时刻两个物种在位置x的密度.模型(4.1)中参数的详细解释见表4.1.在本章,我们主要关注弱竞争的情况,所以我们假设00,(i=1,2);u∈C2([−s0,s0]),v∈C2([−s0,s0]),i011022当x̸∈(−s0,s0)时u(x)=0;当x̸∈(−s0,s0)时v(x)=0,110220(4.2)当x∈(−s01,s01)时u0(x)>0;当x∈(−s02,s02)时v0(x)>0,u′(−s0)>0,u′(s0)<0;v′(−s0)>0,v′(s0)<0.01010202已经有一些模型通过考虑自由边界问题来研究物种在面临竞争压力时的入侵问题.在弱竞争的情况下,Guo和Wu[59]研究了两个竞争物种具有相同的91 西南大学博士学位论文单一自由边界系统的动态.后来,Wu[166]又得到了传播速度的估计和行波解的存在性.Wu[167]研究了一个具有不同自由边界的弱竞争系统,作者得到了物种传播的最小栖息地的大小.在强竞争的情况下,Guo和Wu[60]研究了具有两个自由边界的竞争系统.[32]和[149]又研究了本地物种在Rn中扩散和增长的系统.并且在[32]中得到了传播-消失二分结果.Wang和Zhang[149]又研究了环境异质性的影响.后来,Du等[35]研究了半波问题并得到了[32]中系统的渐近传播速度.Wang和Zhao[158]建立了两个具有一个自由边界的竞争模型,这两个模型具有不同的固定边界条件：一个是纽曼边界条件,另一个是狄利克雷边界条件.他们得到了竞争收益的传播-消失的完备分类,并且其结果与物种间的强弱竞争无关.最近,Zhao和Wang[177]又研究了一个具有变号参数的高维空间的自由边界竞争问题.我们同时也可参考一些最近做的具有固定边界和对流的竞争系统[145,146].自由边界问题也可以用来考虑捕食-食饵系统[153,155,156,159,176,180]和共生系统[84].注意上面的所有这些自由边界问题并没有考虑对流对两个竞争物种竞争收益的影响.在这一小节的余下部分,我们给出一些这一章后面将要用到的标记或定义.为了强调解对初值u0和v0的依赖性,我们假设u0=δϕ,v0=γφ,其中ϕ和φ满足(4.2).记Ii(t)=(gi(t),si(t)),|Ii(t)|=si(t)−gi(t),(i=1,2).因为−gi(t),si(t)(i=1,2)关于时间非减,所以我们可以定义下面的极限:Ii∞:=limIi(t)=lim(gi(t),si(t))=(gi∞,si∞),i=1,2.t→+∞t→+∞0|Ii∞|:=lim|Ii(t)|=lim(si(t)−gi(t))=si∞−gi∞∈(2si,+∞],i=1,2.t→+∞t→+∞我们现在通过I1∞,I2∞和它们的长时间行为来定义这两个竞争物种的传播或消失现象:•物种u(或v)传播成功：如果I1∞=R(或I2∞=R)且物种u(或v)在下面意义下持续liminfu(t,x)>0(或liminfv(t,x)>0)t→+∞t→+∞在R局部一致.•物种u(或v)最终消失：如果I1∞(或I2∞)是有界区间且limmaxu(t,x)=0(或limmaxv(t,x)=0).t→+∞x∈[g1(t),s1(t)]t→+∞x∈[g2(t),s2(t)]92 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统•物种u(或v)实际传播成功：如果|I1∞|=+∞(或|I2∞|=+∞)且limu(t,x)=0(或limv(t,x)=0)t→+∞t→+∞在I1∞(或I2∞)上局部一致,物种u(或v)在下面意义下持续：存在ϵ>0和两个连续曲线x=l±(t)使得对所有t有l+(t)−l−(t)≥ϵ和对所有x∈[l−(t),l+(t)]和所有大的t有u(t,x)≥ϵ(或v(t,x)≥ϵ).•物种u(或v)实际成功消失：如果g1∞>−∞(或g2∞>−∞),s1∞=+∞(或s2∞=+∞)且limmaxu(t,x)=0(或limmaxv(t,x)=0).t→+∞x∈[g1(t),s1(t)]t→+∞x∈[g2(t),s2(t)]对于实际传播成功,我们可以将其分为三种情况：实际传播下游(g1∞>−∞)和实际传播上游(s1∞<+∞)和实际传播到整个空间R(I1∞=R).√√记c1i=2diri,c2i=2diri(1−ki),i=1,2.显然,如果0c使得0000c∗(β∗)=β∗−c,其中Q(c)=−µU′(0,c)且U(z,c−β)为下面问题在(−∞,0)0的严格递减解′′′dq(z)+(c−β)q(z)+rq(z)(a−q(z))=0,q(−∞)=a,q(0)=0,93 西南大学博士学位论文当c−β0有00∥u0∥C2[−s0,s0]+∥v0∥C2[−s0,s0]+s1+s2≤K.(4.4)1122那么存在依赖于α,K的T0∈(0,∞)和K0>0使得问题(4.1)存在唯一解(1+α)/2,1+α1(1+α)/2,1+α2(u,v,s1,g1,s2,g2)∈C(DT0)×C(DT0)×E满足∑2∥u∥C(1+α)/2,1+α(D1)+∥v∥C(1+α)/2,1+α(D2)+(∥gi∥C1+α/2[0,T0]+∥si∥C1+α/2[0,T0])≤K0,T0T0i=1其中E=[C1+α/2[0,T]]4,对i=1,2有Di:={(t,x):g(t)≤x≤s(t),t∈0T0ii[0,T0]}.为了得到命题4.2.1所得到的解的全局存在性,我们需要下面的关于系统(4.1)的解的先验估计.命题4.2.2.设(u,v,s1,g1,s2,g2)为问题(4.1)定义在t∈[0,T]上的解,其94 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统中T>0.则下面的先验估计成立：0g≥−2µKmax,11,t∈(0,T],(4.9)1112d1K1{√′}′r2∥v0∥C([−s0,s0])0>g≥−2µKmax,22,t∈(0,T].(4.10)2222d2K2证明由极大值原理可得在(0,T]×(g1(t),s1(t))上u>0,在(0,T]×(g2(t),s2(t))上v>0.则由(4.1)的第一个方程可得u(t,x)满足ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u),g1(t)0和g′(t)<0(i=1,2).我们现在证明对t∈(0,T]有s′(t)>0.我们ii1需要通过下面的变换将边界x=s1(t)拉平:xy=,ω(t,y):=u(t,x),z(t,y):=v(t,x).s1(t)从而ω(t,y)满足ωt=φ(t)ωyy+ϕ(t,y)ωy+r1ω(1−ω−k1z),y∈(0,1),t∈(0,T],ω(t,0)>0,ω(t,1)=0,t∈(0,T],ω(0,y)=u(s0y),y∈[0,1],01其中φ(t)=d/s2(t),ϕ(t,y)=(−β+s′(t)y)/s(t).由于对t∈(0,T]和y∈[0,1)1111有ω(t,y)>0,所以由Hopf边界原理可得对t>0有ωy(t,1)<0.因此,对t>0有s′(t)=−µu(t,s(t))=−µω(t,1)/s(t)>0.同样地,我们可以得到11x11y1对t∈(0,T]有g′(t)<0(i=1,2)和s′(t)>0.i295 西南大学博士学位论文下面,我们只给出s′(t)的上界估计,关于g′(t)(i=1,2)和s′(t)的估计可1i2以通过类似的方法得到.构造如下的辅助函数：()22z(t,x)=−K1M(x−s1(t))(x−s1(t))+,(t,x)∈∆M,M其中∆={(t,x)∈R2:x∈(η(t),s(t)),t∈[0,T]},η(t)=max{s(t)−M11M−1,g(t)},1{√}2′β+β+2d1r1∥u0∥C([−s0,s0])M=max,11.2d1K1显然,在∆上0≤z≤K.通过直接计算可得对x∈[η(0),s0]有M11zt−d1zxx+βzx≥2K1M(d1M−β)≥r1K1≥r1u(1−u−k1v)=ut−d1uxx+βux,(t,x)∈∆M.∫x′0′0u0(x)=u0(y)dy≤(s1−x)∥u0∥C([−s0,s0])≤K1M(s1−x)≤z(0,x).11s01如果对一些t≥0有η(t)=s(t)−M−1,则z(t,s(t)−M−1)=K≥u(t,s(t)−1111M−1);如果对一些t≥0有η(t)=g(t),则z(t,g(t))≥0=u(t,g(t)).所以,111对所有的t∈[0,T],z(t,η(t))≥u(t,η(t).此外,对所有t∈[0,T]有z(t,s1(t))=u(t,s1(t))=0.因此,由比较原理可得对(t,x)∈∆M有u(t,x)≤z(t,x).显然对t∈(0,T]有ux(t,s1(t))≥zx(t,s1(t)).所以,′s1(t)=−µ1ux(t,s1(t))≤−µ1zx(t,s1(t))≤2µ1K1M,t∈(0,T].证毕.在命题4.2.1和4.2.2的基础上,通过类似于[60,159]中的讨论可得下面的定理成立.定理4.2.1.问题(4.1)在t∈(0,+∞)上有唯一解(u,v,s1,g1,s2,g2),并且s,s,g,g∈C1+α/2([0,∞)),12121,2(1+α)/2,1+α1,2(1+α)/2,1+αu∈C(Ω1)∩C(Ω1),v∈C(Ω2)∩C(Ω2),其中α∈(0,1)是任意的,Ωj:={(t,x):gj(t)≤x≤sj(t),t>0},j=1,2.此外,这个解满足对所有t>0有(4.5),(4.6),(4.7),(4.8),(4.9)和(4.10)成立.96 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统下面,我们给出一些关于系统(4.1)的基本结果.引理4.2.1.令(u,v,s1,g1,s2,g2)为系统(4.1)的解.假设|I1∞|<+∞,则存在与时间t无关的C>0使得′′∥u∥C(1+α)/2,1+α([1,∞)×[g1(t),s1(t)])+∥g1∥Cα/2[1,∞)+∥s1∥Cα/2[1,∞)≤C.此外,limg′(t)=lims′(t)=0.t→+∞1t→+∞1因为引理4.2.1的证明和[60]中的类似,我们不再重复.注意,我们也可得到关于v的类似的结论.对单物种系统,由[54]和[57]可得下面的引理成立.√引理4.2.2.考虑(4.1)的单物种系统u,其中初值u0=δϕ.记c11=2d1r1,则下面的结论成立.(i)当β∈(0,c)时.此时u要么传播成功,要么最终消失.如果s0≥s,则u111∗传播成功;如果s0δ∗时传播成功.(ii)当β=c时,存在δ∗,δ∗∗∈(0,+∞]且δ∗≤δ∗∗使得当δ∈(0,δ∗)时,物11种最终消失;当δ>δ∗∗时,物种实际传播下游；当δ∈[δ∗,δ∗∗]时物种实际消失.(iii)当β∈(c,β∗(c))时,存在一个δ∗∈(0,+∞]使得当δ∈(0,δ∗)时物种1111最终消失;当δ≥δ∗时,物种实际传播下游.(iv)当β≥β∗(c)时,物种最终消失.11由[54,引理2.2]和[30,引理5.10,定理5.11]中的类似讨论可知下面的引理成立.√引理4.2.3.考虑(4.1)中的单物种系统u,记c11=2d1r1.假设β∈(0,c)和s00使得当µ≤µ∗时,u最终111∗01消失;当µ>µ∗时,u传播成功.1我们现在建立关于问题(4.1)的比较原理.它的证明过程是标准的,可以参考[159,167].97 西南大学博士学位论文引理4.2.4.假设s,g,s,g∈C1([0,T]),u∈C(D)∩C1,2(D),11221,T1,Tv∈C(D)∩C1,2(D),并且它们满足2,T2,Tut≥d1uxx−βux+r1u(1−u−k1v),g1(t)0,µ1,µ2µ1,µ2µ1,µ2µ1,µ2s2≤s2,g2≥g2,t>0,µ1,µ2µ,µ2µ1,µ2µ1,µ2u≥u1,x∈(g1,s1),t>0,µ1,µ2µ,µ2µ1,µ2µ1,µ2v≤v1,x∈(g2,s2),t>0.98 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统在这章的余下部分,我们假设c21≤c22≤c11≤c12.为了研究对流速度β对解的长时间行为的影响.我们现在给出一些这章后边将要用到的结果.引理4.2.5.假设limsup∥u∥C([g1(t),s1(t)])=B1,limsup∥v∥C([g2(t),s2(t)])=B2.t→+∞t→+∞则Bi≤1(i=1,2).此外,下面的结论成立.(i)如果√2d1πβ<2d1r1(1−k1B2),|I1∞|>√:=I1.4d1r1(1−k1B2)−β2则I1∞=R,liminft→+∞u(t,x)≥1−k1B2,其中收敛性在R上局部一致.(ii)如果√2d2πβ<2d2r2(1−k2B1),|I2∞|>√:=I2.4d2r2(1−k2B1)−β2则I2∞=R,liminft→+∞v(t,x)≥1−k2B1,其中收敛性在R上局部一致.证明我们考虑情况(i).令v为初值是v0=∥v0∥L∞的方程vt=r2v(1−v)的唯一解.从而由比较原理易得B2≤1.由|I1∞|>I1可知存在充分小的ϵ>0使得√∗2d1πβ<2d1r1(1−k1(B2+ϵ)),|I1∞|>I1:=√.4d1r1(1−k1(B2+ϵ))−β2因为limsupt→+∞∥v∥C([g2(t),s2(t)])=B2,所以存在T1>0使得对任意t>T1和∗x∈R有v(t,x)≤B2+ϵ和I1<|I1(T1)|.因此,(u,s1(t),g1(t))为下面问题的上界解：ωt=d1ωxx−βωx+r1ω(1−ω−k1(B2+ϵ)),x∈(g(t),s1(t)),t>T1,1g′(t)=−µω(t,g(t)),s′(t)=−µω(t,s(t)).t>T,11x111x11ω(t,x)≡0,x̸∈(g1(t),s1(t)),t≥T1,g1(T1)=g1(T1),s1(T1)=s1(T1),ω(T1,x)=u(T1,x).令y=x−(s1(T1)+g1(T1))/2,则我们可以将初始区间[g1(T1),s1(T1)]转换为区∗间长度为|I1(T1)|的区间[−|I1(T1)|/2,|I1(T1)|/2].因为I1<|I1(T1)|,所以由引理4.2.2可得I1∞⊇limt→+∞(g1(t),s1(t))=R,并且liminfu(t,x)≥limω(t,x)=1−k1(B2+ϵ),t→+∞t→+∞99 西南大学博士学位论文其中收敛性在R上局部一致.注意到ϵ>0充分小,所以liminft→+∞u(t,x)≥1−k1B2,其中收敛性在R上局部一致.(ii)的结论也可通过类似的方法得到.证毕.命题4.2.3.对任意β>0,下面的结论成立:(i)如果|I1∞|≤2s∗(或|I2∞|≤2σ∗),则u(或v)最终消失.(ii)如果|I1∞|<+∞(或|I2∞|<+∞)且对所有大的时间都有s1(t)≤s2(t)(或s2(t)≤s1(t)),则u(或v)最终消失.(iii)如果|I1∞|<+∞(或|I2∞|<+∞),则u(或v)最终消失.(iv)如果s00和l2>0使其满足−l1≤g1∞,l2≥s1∞和l1+l2≤2s∗.令u为下面问题的唯一解：ut=d1uxx−βux+r1u(1−u),(t,x)∈(0,+∞)×(−l1,l2),u(t,l2)=u(t,−l1)=0,t>0,u(0,x)=u(x),x∈[−s0,s0];u(0,x)=0,x∈[−l,−s0]∪[s0,l].0111112显然,由l2+l1≤2s∗可得limt→+∞∥u∥C([−l1,l2])=0,其中2s∗是上面问题的临界长度[11,88].从而由比较原理可得limt→+∞∥u∥C([g1(t),s1(t)])=0.(ii)反证法.假设存在一个满足limn→+∞tn=+∞和xn∈(g1(tn),s1(tn))的序列{(tn,xn)}使得对一些ι>0有limn→+∞u(tn,xn)=ι.假设limn→+∞xn=x(必要时取一子列).那么,我们可以得到x̸=g1∞.假设上面结论不成立,即x=g1∞,则存在ζn∈(g1(tn),xn)使得u(tn,xn)−u(tn,g1(tn))u(tn,xn)ux(tn,ζn)==→+∞,n→+∞,xn−g1(tn)xn−g1(tn)这与引理4.2.1矛盾.同样地,我们可以得到x̸=s1∞.所以x∈(g1∞,s1∞).对于g1(t)和g2(t),我们可以得到他们必须满足下面的情况之一:对所有大的时间都有g1(t)≤g2(t);对所有大的时间都有g1(t)≥g2(t)；g1(t)−g2(t)的符100 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统号在所有大的时间改变无穷多次.因为|I1∞|<+∞,所以我们可以定义下面的变换:2x−s1(t)−g1(t)(t,x)→(t,y),y=,x∈R,s1(t)−g1(t)和ω(t,y):=u(t,x),z(t,y):=v(t,x),从而系统(4.1)可以重写为ωt=d1ρωyy+Aωy+r1ω(1−ω−k1z),y∈(−1,1),t>0,zt=d2ρzyy+Azy+r1z(1−z−k1ω),y∈(η1(t),η2(t)),t>0,(4.12)ω(t,y)≡0,y̸∈(−1,1),t≥0;z(t,y)≡0,y̸∈(η1(t),η2(t)),t≥0,00(ω,z)(0,y)=(ω0,z0)(y)=(u0(s1y),v0(s1y)),y∈R,√2′′′其中A=−ς−βρ,ρ(t)=4/|I1(t)|,ς(t,y)=−(s1(t)+g1(t)+y(s1(t)−g′(t)))/|I(t)|,η(t)=(2g(t)−s(t)−g(t))/|I(t)|和η(t)=(2s(t)−s(t)−1112111221g1(t))/|I1(t)|.定义un(t,y):=ω(t+tn,y),vn(t,y):=z(t+tn,y),y∈[κn,1],t∈[0,1],其中κn=max{−1,maxt∈[tn,tn+1]η1(t)}.当对所有大的时间都有g1(t)≥g2(t)时,可以得到对n充分大有κn=−1;当g1(t)−g2(t)的符号改变无穷多次时,可以得到g1∞=g2∞,从而limn→+∞κn=−1;当对所有大的时间都有g1(t)≤g2(t)时,可以得到limn→+∞κn=η0≥−1.通过利用标准的LP估计、Sobolev嵌入定理和一些简单的讨论,我们可以得到存在M1>0使得∥un∥C(1+α)/2,1+α([0,1]×[κn,1])+∥vn∥C(1+α)/2,1+α([0,1]×[κn,1])≤M1.所以,我们有(必要时取一子列):当n→+∞时,在C1/2,1([0,1]×[κ,1])上0∗∗(un,vn)(t,y)→(u,v)(t,y),其中{−1,对所有大的时间有g1(t)≥g2(t)或g1(t)−g2(t)改变无穷多次符号;κ0=η0,对所有大的时间有g1(t)≤g2(t).101 西南大学博士学位论文当κ=−1时.因为lims′(t)=limg′(t)=0,所以0n→+∞1nn→+∞1nu∗=d4u∗−2βu∗+ru∗(1−u∗−kv∗),y∈(−1,1),t∈(0,1),t1|I1∞|2yy|I1∞|y11∗∗u(t,−1)=u(t,1)=0,t∈(0,1),和u∗(0,y)=ι,其中y=(2x−s−g)/|I|.因此,由极大值原理可得1∞1∞1∞在{(t,y):y∈(−1,1),t∈(0,1)}上u∗>0.通过利用Hopf边界原理,易得对t∈(0,1)有u∗(t,1)<0.从而存在θ>0使得对所有的t∈(1/4,1)有y0u∗(t,1)≤−θ.因此,对所有大的n,有y0′2µ1uny(1/2,1))µ1θ0s1(tn+1/2)=−µ1ux(tn+1/2,s1(tn+1/2))=−≥,|I1(tn+1/2)||I1∞|这与引理4.2.1矛盾.所以,物种u最终消失.当κ0=η0>−1且y=(2x−s1∞−g1∞)/|I1∞|∈[κ0,1)时,我们可以得到u∗=d4u∗−2βu∗+ru∗(1−u∗−kv∗),y∈(κ,1),t∈(0,1),t1|I1∞|2yy|I1∞|y110∗∗u(t,κ0)≥0,u(t,1)=0,t∈(0,1).然后通过类似于上面的讨论可得u最终消失.当κ0=η0>−1且y=(2x−s1∞−g1∞)/|I1∞|∈(−1,κ0)时.对充分大的n,定义+++un(t,y):=ω(t+tn,y),vn(t,y):=z(t+tn,y),y∈[−1,κn],t∈[0,1],其中κ+=minη(t),则对y∈[−1,κ+]和t∈[0,1]有v+(t,y)≡0.注nt∈[tn,tn+1]1nn意到limκ+=limκ=η.通过类似于上面的方法,我们得到(必要时n→+∞nn→∞n0取一子列)：当n→+∞时,在C1/2,1([0,1]×[−1,κ])中0+++(un,vn)(t,y)→(u(t,y),0),其中u+满足u+=d4u+−2βu++ru+(1−u+),y∈(−1,κ),t∈(0,1),t1|I1∞|2yy|I1∞|y10++u(t,κ0)≥0,u(t,−1)=0,t∈(0,1),和u+(0,y)=ι.同样地,我们可以得到对所有充分大的n和某些θ>0有1g′(t+1/2)≤−θ,矛盾.所以,u最终消失.1n1102 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统综上所述,(ii)的结论成立.(iii)我们现在假设|I1∞|>2s∗.首先考虑对所有大的时间都有s1(t)≥s2(t)成立的情况.当对所有大的时间都有g1(t)≤g2(t)或g1(t)−g2(t)的符号在所有大的时间改变无穷多次时,通过类似于(ii)中的讨论可得物种v最终消失.从而√√由引理4.2.5可知当β<2d1r1时|I1∞|=+∞,矛盾.如果β≥2d1r1,则ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u),x∈(g1(t),s1(t)),t≥0.所以由引理4.2.2和比较原理可得u→0,其中收敛性是一致的.当对所有大的时间都有g1(t)≥g2(t)时,通过类似于(ii)中g1(t)≤g2(t)的讨论可得u最终消失.最后,我们考虑s1(t)−s2(t)的符号对所有大的时间改变无穷多次的情况.显然,s1∞=s2∞.通过类似于(ii)中的讨论并将所有区间的右边界1用ln代替,其中ln=min(1,mint∈[tn,tn+1]η2(t)),我们得到u最终消失.综合上述结论、(i)和(ii)可得(iii)显然成立.(iv)因为对所有的t>0有ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u),所以可以由比较原理、引理4.2.2和引理4.2.3中的类似讨论得到这个结论.证毕.4.3小的对流速度对竞争收益的影响在这一节,我们研究β2s∗(或|I|>2σ∗),则u(或v)传播成功.1∞2∞证明(i)和(iii)的结论可以分别由命题4.2.3和引理4.2.5证得.103 西南大学博士学位论文我们现在证明(ii)成立.因为|I|∈(2s,2s∗],所以由命题4.2.3中的1∞∗(iii)可得u最终消失.下面证明v传播成功.根据引理4.2.5,我们只需要证明|I2∞|>2σ∗即可.假设|I2∞|≤2σ∗,则limt→+∞∥v∥C[g2(t),s2(t)]=0.从而由引理4.2.5和|I1∞|>2s∗可得|I1∞|=+∞,矛盾.所以(ii)的结论成立.证毕.由命题4.3.1可知当β0、g′(0)<0(或s′(0)>0、g′(0)<0)、|I(t)|(或|I(t)|)112212关于时间严格递增以及命题4.3.1中的(iii)易得(i)的结论成立.(ii)的结论可以通过命题4.2.3得到.综合(i)和(ii)的结论,易得(iii)的结论成立.证毕.4.3.2解的长时间行为在这一小节,我们研究当两个物种都传播成功时解的长时间行为.我们首先给出物种传播速度的一些估计,然后研究解的收敛性结果.104 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统考虑下面的系统:ωt=dωxx−βωx+rω(a−ω),g(t)0,g′(t)=−µω(t,g(t)),s′(t)=−µω(t,s(t)),t>0,xx(4.13)ω(t,x)≡0,x̸∈(g(t),s(t)),t≥0,0−g(0)=s(0)=s,ω(0,x)=ω0(x),√其中(s0,ω(x))满足(4.2)中的条件.定义c=2dra.令c+(a,r,d,µ)和00U+(a,r,d,µ)为下面半波问题的解:dU′′−(c−β)U′+rU(a−U)=0,在(0,+∞)上U>0,(4.14)′cU(0)=0,U(+∞)=a,U(0)=;µc−(a,r,d,µ)和U−(a,r,d,µ)为下面半波问题的解:dU′′−(c+β)U′+rU(a−U)=0,在(0,+∞)上U>0,(4.15)′cU(0)=0,U(+∞)=a,U(0)=.µ(c+,U+)和(c−,U−)的存在唯一性可以由[55,命题2.2和2.4]得到,并且c+∈(0,c+β),c−∈(0,c−β).由[78,定理B]可知下面的命题成立.00命题4.3.2.([78])假设(ω,s,g)是系统(4.13)的一个解.则当传播成功发生时,存在s,g∈R使得下面的结论成立:+−lim(s(t)−ct−s)=0,lim(g(t)+ct−g)=0,t→+∞t→+∞和+lim∥u(t,·)−U(s(t)−·)∥C2([0,s(t)])=0,t→+∞−lim∥u(t,·)−U(·−g(t))∥C2([g(t),0])=0.t→+∞我们现在给出gi(t)和si(t)(i=1,2)的渐近传播速度的一些估计,并研究当传播成功时解的收敛性.引理4.3.2.假设β0充分小且满足β<2d1r1(1−k1(1+ϵ)).因为I1∞=R,则存在T1>0使得对t>T1和x∈R有v(t,x)≤1+ϵ,并且√|I1(T1)|>2d1π/4d1r1(1−k1(1+ϵ))−β2.所以,(u,s1,g1)为下面问题的上界解:ut=d1uxx−βux+r1u(1−u−k1(1+ϵ)),x∈(g(t),s1(t)),t>T1,1g′(t)=−µu(t,g(t)),s′(t)=−µu(t,s(t)),t>T,11x111x11u(t,x)≡0,x̸∈(g1(t),s1(t)),t≥T1,g1(T1)=g1(T1),s1(T1)=s1(T1),u(x,T1)=u(T1,x).由引理4.2.2可得u传播成功.从而通过利用命题4.3.2和标准的比较原理可得g1(t)g1(t)−liminf−≥lim−=c(1−k1(1+ε),r1,d1,µ1),t→+∞tt→+∞ts1(t)s1(t)+liminf≥lim=c(1−k1(1+ε),r1,d1,µ1);t→+∞tt→+∞t和+u(t,x)≥U(1−k1(1+ε),r1,d1,µ1)(s(t)−x)−ϵ,x∈[0,s(t)],t≫1,106 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统−u(t,x)≥U(1−k1(1+ε),r1,d1,µ1)(x−g(t))−ϵ,x∈[g(t),0],t≫1,如果对t≫1有x∈[−l−c2t,0],则−u(t,x)≥U(1−k1(1+ε),r1,d1,µ1)(−l−c2t−g(t))−ϵ→1−k1(1+ε)−ϵ.令ϵ→0,则对x∈[−l−c2t,0]有liminft→+∞u(t,x)≥1−k1.同样地,我们可以得到：对x∈[0,l+c1t],有liminft→+∞u(t,x)≥1−k1.显然,(4.13)的满足d=d,a=1,r=r,µ=µ,s0=s0和ω(x)=u(x)111100的解(ω,s,g)是(u,s1,g1)的一个上界解.从而由比较原理可得,当t→+∞时,g1(t)≥g(t)→−∞,s1(t)≤s(t)→+∞.所以g1(t)g(t)−limsup−≤lim−=c(1,r1,d1,µ1),t→+∞tt→+∞ts1(t)s(t)+limsup≤lim=c(1,r1,d1,µ1).t→+∞tt→+∞t综合上面的结论,并令ϵ→0,易得(ii)和(iii)中的结论成立.证毕.注4.3.1.通过类似的方法,我们也可以建立关于物种v的类似于引理4.3.2的结论.在这里不再重复.下面我们研究当两个物种都传播成功时解的渐近行为.我们首先需要给出一些基本的结论.√√命题4.3.3.假设β<2dra和l2−l1>2dπ/4dra−β2,则下面的椭圆方程{0=duxx−βux+ru(a−bu),x∈(l1,l2),(4.16)u(l1)=u(l2)=0,存在唯一的正解u.此外,当l1→−∞且l2→+∞时u→a/b,其中收敛性在R上局部一致.证明通过类似于[18]中的标准的上下解讨论,我们可以得到正解的存在性和唯一性,在这里不再赘述.定义变换：y=x−(l+l)/2和u+(y)=u(x).21则初始区间(l,l)被变换为(−l,l),其中l=(l−l)/2.此外,u+(y)满足对1221y∈(−l,l)有0=du+−βu++ru+(a−bu+),u+(−l)=u+(l)=0,这种形式与yyy(4.16)相同.所以,为了简单起见,我们仍将u+(y)记为u(x),并且只需要证明当l→+∞时u→a/b,这个收敛性在R上一致.107 西南大学博士学位论文通过标准的相平面分析[54,57],对于区间J⊆R,下面方程的有界非负解duxx−βux+ru(a−bu)=0,x∈J必包含于下面四种情况中:(i)常数解:0或a/b;(ii)半直线上的严格递增解;(iii)半直线上的严格递减解;(iv)具有紧致集的解.记ul(x)为(4.16)的解.通过标准的比较原理可得：如果x0∈(−l,l)固定,则∗ul(x0)关于l递增.所以,如果l>l,则对任意x∈(−l,l)有ul∗(x)≥ul(x)>0.因为a/b是(4.16)的一个上界解,所以liml→+∞ul(x)=u(x)>0存在,且u(x)满足duxx−βux+ru(a−bu)=0,x∈R.(4.17)因此u(x)满足上面的四种情况之一.如果u(x)满足后三种情况或(i)中的0,则必存在x1∈R使得当l→+∞时,ul(x1)→0.对于x1,由极大值原理我们可以选取充分大的l∗>0使得x1∈(−l∗,l∗)且ul∗(x1)>0.所以对任意l>l∗有ul(x1)>ul∗(x1)>0,矛盾.因此u(x)≡a/b.通过利用内估计,我们可以得到当l→+∞时,ul(x)→a/b,且这个收敛性在R上局部一致.证毕.命题4.3.4.假设常数k>0,则下面的椭圆方程{0=duxx−βux+ru(a−bu),x∈(−l,l),(4.18)u(−l)=u(l)=k,存在唯一正解u.此外,当l→+∞时u→a/b,其中收敛性在R上局部一致.证明(4.18)的正解的存在唯一性可以由[34,引理2.3]的证明中的类似讨论得到.记ul(x)为(4.18)的解.现在,我们证明下面的结论成立:aul→,当l→+∞时,b其中收敛性在R上局部一致.当k>a/b时.由极大值原理易得a/b≤ul(x)≤k.通过利用比较原理可得ul(x)关于l递减.所以liml→+∞ul(x)=n(x)存在,n(x)≥a/b且n(x)满足(4.17).因此,由[57]中稳态解的相平面分析可得n(x)=a/b.所以由内估计可知结论成立.108 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统当00和ϵ>0,存在√lϵ>max(l,2dπ/4dra−β2)使得当连续非负函数p(t,x)满足pt−dpxx+βpx≥(≤)rp(a−bp),x∈(−lϵ,lϵ),t>0p(t,−lϵ)=p(t,lϵ)≥(=)0,t≥0,p(0,x)>0,x∈(−lϵ,lϵ),时,则()aaliminfp(t,x)>−ϵlimsupp(t,x)<+ϵ在[−l,l]上一致.t→+∞bt→+∞b引理4.3.4.令K为一个固定的正常数.对任意l>0和ϵ>0,存在lϵ>l使得当连续非负函数p(t,x)满足pt−dpxx+βpx≥(≤)rp(a−bp),x∈(−lϵ,lϵ),t>0,p(t,−lϵ)≥(≤)K,p(t,lϵ)≥(≤)K,t≥0,p(0,x)>0,x∈(−lϵ,lϵ),时,则()aaliminfp(t,x)>−ϵlimsupp(t,x)<+ϵ在[−l,l]上一致.t→+∞bt→+∞b定理4.3.2.假设β1时u=1−kv=1−k(1−k)(1−(kk)n−1)/(1−kk),v=1−ku.则n1n−1121212n2n当n→+∞时un→(1−k1)/(1−k1k2),vn→(1−k2)/(1−k1k2).定义两个序列{u∗}和{v∗},其中u∗=1−k,v∗=1,并且当n>1时nn111u∗=1−kv∗,v∗=1−ku∗=1−k(1−k)(1−(kk)n−1)/(1−kk).则当n1nn2n−1211212n→+∞时,u∗→(1−k)/(1−kk),v∗→(1−k)/(1−kk).n112n212首先,我们证明对任意n≥1,下面的结论成立:(1)limsupu(t,x)≤un,liminfv(t,x)≥vn在R上局部一致;t→+∞t→+∞(2)liminfu(t,x)≥u∗,limsupv(t,x)≤v∗在R上局部一致.nnt→+∞t→+∞我们只需要证明(1)成立,另外一个可以通过类似的方法得到.由引理4.3.2和注4.3.1易得当n=1时结论成立.现在,我们证明当n=2时结论也成立.注意到对任意的初始区间,我们都可以将其转换为对称区间.所以,我们在下面只研究初始区间对称的情况.令ρ>0充分小且满足v1−ρ>0.对任意l>0和ϵ>0,令lϵ为引理4.3.4中当d=d1,a=1−k1(v1−ρ),b=1,r=r1和K=K1时所给定的值,其中K1的定义见(4.5).由引理4.3.2和注4.3.1,我们可以得到liminft→+∞v(t,x)≥1−k2:=v1,这个收敛性在R上局部一致.注意I1∞=R,所以存在T1>0,使得对t≥T1和x∈[−lϵ,lϵ],有s1(t)>lϵ,g1(t)<−lϵ和v(t,x)≥v1−ρ.因此,我们有ut−d1uxx+βux≤r1u(1−k1(v1−ρ)−u),x∈(−lϵ,lϵ),t≥T1u(t,−lϵ)≤K1,u(t,lϵ)≤K1,t≥T1.因为对所有x∈(−lϵ,lϵ)有u(T1,x)>0,所以由引理4.3.4可得limsupu(t,x)≤1−k1(v1−ρ)+ϵ在[−l,l]上一致.t→+∞从而由l、ϵ和ρ的任意性,我们能够得到limsupu(t,x)≤1−k1v1:=u2,在R上局部一致.t→+∞对任意满足u2+ϵ1<1的充分小的ϵ1>0和l1>0,令lϵ1为引理4.3.3中当d=d2,r=r2,b=1,l=l1,ϵ=ϵ1和a=1−k2(u2+ϵ1)时所给定的值.110 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统则存在T2>0使得对(t,x)∈[T2,+∞)×[−lϵ1,lϵ1]有u(t,x)≤u2+ϵ1.因为I2∞=R,所以存在T3>0使得对所有t>T3有s2(t)>lϵ1,g2(t)<−lϵ1.取T4=max{T2,T3},则v满足vt−d2vxx+βvx≥r2v(1−v−k2(u2+ϵ1)),x∈(−lϵ1,lϵ1),t≥T4v(t,−lϵ1)≥0,v(t,lϵ1)≥0,t≥T4,v(T4,x)>0,x∈(−lϵ1,lϵ1).从而由引理4.3.3得liminfv(t,x)≥1−k2(u2+ϵ1)−ϵ1在[−l1,l1]上一致.t→+∞所以我们能够得到liminfv(t,x)≥1−k2u2:=v2,在R上局部一致.t→+∞通过利用和上面同样的方法,我们可以得到对所有n≥1,结论(1)和(2)都成立.所以,对所有n≥1,∗un≤liminfu(t,x)≤limsupu(t,x)≤un,t→+∞t→+∞∗vn≤liminfv(t,x)≤limsupv(t,x)≤vn,t→+∞t→+∞其中这几个收敛性都在R上局部一致.令n→+∞,定理得证.我们现在给出当两个物种都传播成功时,解的渐近行为的一个更精确的结果.定理4.3.3.假设β0,00和v−2kϵ>0的充分小的ϵ>0,令L=L(ϵ)充1212分大,其中uϵ=u+2kkϵ.定义2212{0,x∈(−∞,L];q1(x)=u1−uϵ22L(x−L)π(4.19)[x−L−sin()],x∈(L,2L].2αLπ2L{0,x∈[−L,+∞);q2(x)=u1−uϵ22L(x+L)π(4.20)−[x+L−sin()],x∈[−2L,−L).2αLπ2L其中α=(1−2/π)/2.由引理4.3.2易得存在t0>0使得对(t,x)∈[t0,+∞)×[−L−c2t,L+c1t]有u(t,x)≤1+ϵ和v(t,x)≥v1−2k2ϵ>0.定义ϕ(t)如下′ϵϕ(t)=r1(u2−ϕ)ϕ,t≥t0;ϕ(t0)=1+ϵ.令u(t,x)=ϕ(t)+q1(x−c1t)+q2(x+c2t)+ϵ,v(t,x)=v1−2k2ϵ.则在Ω={(t,x):t≥t,x∈[−2L−ct,2L+ct]}上u(t,x)∈C1,2.通过类似于1021[167,引理3.4]中的讨论,我们可以得到limsupt→+∞u(t,x)≤u2,其中收敛性在x∈[−l−c2t,l+c1t]上一致.ϵ0对任意满足v1−ϵ0>0和v2−v1>0的充分小的ϵ0>0,令L1=L1(ϵ0)ϵ0充分大,其中v2=v2−2k1k2ϵ0.则存在t1>0使得对(t,x)∈[t1,+∞)×[−L1−c2t,L1+c1t]有u(t,x)≤u2+2k1ϵ0和v(t,x)≥v1−ϵ0>0.定义′ϵ0ψ(t)=r2(v2−ψ)ψ,t≥t1;ψ(t1)=v1−ϵ0;{0,x∈(−∞,L1];p1(x)=vϵ0−v(4.21)21[x−L−2L1sin((x−L1)π)],x∈(L,2L];2αL11π2L111{0,x∈[−L1,+∞);p2(x)=vϵ0−v(4.22)−21[x+L−2L1sin((x+L1)π)],x∈[−2L,−L);2αL11π2L111其中α=(1−2/π)/2.令v(t,x)=ψ(t)−p1(x−c1t)−p2(x+c2t)−ϵ0,u(t,x)=u2+2k1ϵ0.则在Ω={(t,x):t≥t,x∈[−2L−ct,2L+ct]}上v(t,x)∈C1,2.通过类111211似于[167,定理6]中的讨论,我们得到liminft→+∞v(t,x)≥v2,其中收敛性在x∈[−l−c2t,l+c1t]上一致.证毕.112 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统4.3.3最小栖息地大小最小(临界)栖息地大小是一个研究物种在有界域持续或灭绝的重要的量[88,90].对于自由边界竞争问题,Wu[167]得到了单物种传播的最小栖息地大小smin,即只要初始区域长度s0≥smin,则物种一定传播成功(与别的初值无关),但当s00(或σmin>0)使得物种u(或v)传播成功,且传播成功与u,v,s0(或s0)和µ(i=1,2)无关当且仅当s0≥s(或s0≥σ).此0021i1min2min外,s≤s≤s∗(或σ≤σ≤σ∗),其中∗∗min∗∗mind1π或σd2π.s∗∗=√∗∗=√4dr1−k1−β24dr1−k2−β2111−k1k2221−k1k2根据定理4.3.4可知：如果s0µ∗时u传播成功,而当µ≤µ∗时u最终消失.min11111此外,下面的结论成立:(i)如果s0≥s,s0<σ且µ≤µ−,则µ∗=0.1∗2∗221(ii)当下面的条件之一成立时,µ∗>0:1(a)s0µ.∗1∗∗222(c)s≤s00使得当µ1≥µ1时u传播成功.113 西南大学博士学位论文这个结论的证明受到[115,引理3.6]和[158,引理3.2]的启发.由定理4.2.1可得,存在依赖于u和v的a∗>0使得对所有t≥0有1−u−kv≥−a∗.所001以,对所有t≥0,我们有u≥du−βu−ra∗u.考虑下面的辅助自由边界问t1xxx1题:ωb=dωb−βωb−ra∗ω,bgb(t)0,t1xxx1ωb(t,x)=0,x̸∈(gb(t),sb(t)),t≥0,(4.23)′′gb(t)=−µ1ωbx(t,gb(t)),sb(t)=−µ1ωbx(t,sb(t))t>0,0sb(0)=−gb(0)=s1;ωb(0,x)=u0(x).根据[30],易得(4.23)有唯一的全局解(ω,bs,bgb),并且对所有t>0有sb′(t)>0,gb′(t)<0.由比较原理可得对所有t≥0和x∈[gb(t),sb(t)]有s(t)≥1sb(t),g1(t)≤gb(t)和u(t,x)≥ωb(t,x).接下来,我们将证明存在µ>0使得对所有µ≥µ有I>2s∗,从而由1111∞命题4.3.1可知u能传播成功.令s(t)和g(t)为两个满足下面条件的光滑函数：−g(0)=s(0)=s0/2,1s(2)−g(2)=2s∗；在t∈[0,2]上s(t)是增函数,g(t)是减函数.我们现在构造下面的自由边界问题:u=du−βu−ra∗u,g(t)0,u(s0/2)<0.显然,(4.24)存在000x10x1唯一解(u,s,g).从而由Hopf边界引理可得对t∈[0,2]有ux(t,s(t))<0和u(t,g(t))>0.所以存在µ>0使得对所有µ≥µ,有s′(t)≤−µu(t,s(t))x1111x和g′(t)≥−µu(t,g(t)).从而由比较原理可得1xωb(t,x)≥u(t,x),sb(t)≥s(t),gb(t)≤g(t),t∈[0,2],x∈[g(t),s(t)].所以,当µ1≥µ1时,∗|I1∞|>s1(2)−g1(2)≥sb(2)−gb(2)≥s(2)−g(2)=2s.结论2.如果s00使得当µ∈[0,µ−]时1∗10111u最终消失.114 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统令(ω,s,g)为满足d=d,r=r,a=1,µ=µ,s0=s0和ω(x)=u(x)111100的(4.13)的解.显然,(ω,s,g)是(u,s1,g1)的一个上界解.从而由比较原理和引理4.2.3可知结论2成立.结论3.如果s≤s00使得当µ1∈[0,µ1]时u最终消失.这个结论的证明可以采用[167,引理3.6]中的类似方法.为了强调(4.1)的解对µ和µ的依赖性,我们将这个解记为(uµ1,µ2,vµ1,µ2,sµ1,µ2,gµ1,µ2,sµ1,µ2,gµ1,µ2).121122由(4.14)和(4.15)中c+和c−的定义可知,存在µe>0,c>0和c>0使112得c+(1,r,d,µe)0使得对所有t≥t1有µe1,µ2µe1,µ2µe1,µ2µe1,µ2[g1,s1]⊂[−c2t,c1t]⊂[g2,s2].√显然,存在一个满足dπ/4dr(1−kv)−β2∈(s0,s)的v,其中1111N1∗∗N{vn}与定理4.3.2中的相同.通过类似于[60,定理3]中的讨论可得：对所有x∈[−ct,ct]有liminfvµe1,µ2(t,x)≥v.所以对任意充分的ϵ>0,存在21t→+∞Nt≥t使得对所有t≥t和x∈[−ct,ct]有vµe1,µ2(t,x)≥v−ϵ.21221N由比较原理可得对任意t≥t2和µ1∈(0,µe1],我们有µ1,µ2µ1,µ2ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u−k1(vN−ϵ)),x∈[g1,s1].√选取充分小的µb≤µe使得sµb1,µ2(t)−gµb1,µ2(t)<2dπ/4dr(1−kv)−β2.1112121111N则对任意µ≤µb,(uµ1,µ2,sµ1,µ2,gµ1,µ2)是下面自由边界问题的一个下界解:1111ωt=d1ωxx−βωx+r1ω(1−k1(vN−ϵ)−ω),g1(t)0,使得当µ∈[0,µ−]时2∗20222v最终消失.结论6.如果σ≤s0<σ且I=R,则存在依赖于s0,s0,u,v和µ的∗2∗∗1∞12001++µ2>0使得当µ2∈[0,µ2]时v最终消失.定义A={µ:当µ1=µ时物种u传播成功}.由结论1可知µ∗=infA∈[0,µ]有确定的定义.现在,我们证明：如果µ∗>0,111∗∗µ∗µ∗则µ̸∈A.反证法.假设µ∈A.则存在t≫1,使得s1(t)−g1(t)>2s.1101010minµ∗−ϵµ∗−ϵ从而由解对µ的连续依赖性可知,对充分小的ϵ有s1(t)−g1(t)>2s.11010min所以,由定理4.3.4可得对充分小的ϵ有µ∗−ϵ∈A,矛盾.根据比较原理,易得1当µ>µ∗时物种u传播成功,而当µ≤µ∗时,物种u最终消失.1111当s0<σ且µ≤µ−时,由结论5可知物种v最终消失.从而由引理4.2.52∗22和4.3.1可得(i)的结论成立.我们现在证明(ii).由结论2可知(a)显然成立.由定理4.3.1和结论4可得,当s0≥σ∗或s0<σ∗且µ>µ时v传播成功且I=R.所以由结论322222∞可知(b)和(c)都成立.证毕.4.4大的对流速度对竞争收益的影响在这一节,我们假设β≥c12.我们现在给出系统(4.1)的解的长时间行为.定理4.4.1.假设β≥c12.则问题(4.1)的解满足:limu(t,x)=0,在I1∞上局部一致;t→+∞limv(t,x)=0,在I2∞上局部一致.t→+∞∗∗此外,当β≥β(c11)(或β≥β(c12))或∥u0∥C([−s0,s0])(或∥v0∥C([−s0,s0]))充分1122小时,u(或v)最终消失;u和v可能的行为可能是下面三种情况之一:实际传播下游、实际消失和最终消失.116 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统证明令(ω,s,g)为(4.13)中当d=d,r=r,a=1,µ=µ,s0=s0和1111ω0(x)≥u0(x)时所对应的解.显然(ω(t,x),s(t),g(t))是(u(t,x),s1(t),g1(t))的一个上界解.由引理4.2.2可得limt→+∞ω(t,x)=0,其中收敛性在(g∞,s∞)上∗局部一致,并且g∞>−∞.此外,当β≥β(c11)或∥ω0∥C([−s0,s0])充分小时ω最11终消失.从而由比较原理和命题4.2.3可知关于u的结论成立.关于v的结论也可以通过类似的方法得到.证毕.定理4.4.1表明当β≥c12时物种u和v都局部一致收敛到零,这暗含了两个物种都不能传播成功.所以依赖于参数µi(i=1,2)以及初值u0和v0,物种可能消失或实际传播.下面,我们将给出一些物种u消失或实际传播的准则.假设u0=δϕ,v0=γφ,其中ϕ和φ满足(4.2).定理4.4.2.假设β≥c.令s0,d,r,k(i=1,2)固定.则存在µ∗∈12iiii1[0,+∞]使得当µ∈[0,µ∗)时u最终消失,并且这个结果与u,v和µ无关.11002此外,如果µ>µ∗,则存在依赖于初值和µ的δ∗,δ>0使得当δ>δ∗时物112∗种u实际传播下游；当δ<δ时u最终消失；当δ̸=δ∗时,如果δ∈(δ,δ∗),∗∗∗则u可能实际消失.证明令(ω,s,g)为(4.13)中当d=d,r=r,a=1,µ=µ,s0=s01111和ω0(x)≥u0(x)时所对应的解.则(ω,s,g)是(u,s1,g1)的一个上界解.因为β∗(c)关于µ递增且当µ→+∞时β∗(c)→+∞,所以存在µ−≥0使111111得β∗(c)≤β当且仅当µ∈[0,µ−].注意：当β=c=c时µ−=0,当1111211β>c时µ−>0.因此由引理4.2.2知当µ∈[0,µ−]时ω最终消失,这暗示了111当µ∈[0,µ−]时u最终消失.1定义:∗A={µ≥0:当µ1=µ时u最终消失},µ1=supA.显然,[0,µ−]⊆A.由比较原理可知[0,µ∗)⊆A.当µ∗=+∞时,并不需要证明.11下面,我们假设µ∗<+∞.1如果µ>µ∗,则µ>µ−.由µ−的定义可知,存在δ>0使得当δ<δ11111时ω最终消失,从而由比较原理可得当δ<δ1时u最终消失.定义B={δ≥0:当δ=δ时u最终消失},δ∗=supB;∗C={δ≥0:当δ=δ时u实际传播下游},δ=infC.易得[0,δ1)⊆B并且δ∗∈(0,+∞]存在.如果δ∗=+∞,则无需证明.下面,我们假设δ∗∈(0,+∞).由比较定理和δ∗的定义可得对任意δ<δ∗都有u最终消失.117 西南大学博士学位论文如果存在某个δ3(µ2,γ)>δ∗使得当δ=δ3时u实际传播下游,则对任意δ≥δ,都有u实际传播下游.所以δ∗≤δ存在且其依赖于µ(i=1,2)和别33i的参数.如果δ不存在,则δ∗=+∞.所以,对任意δ>δ∗,由比较原理可得u3实际传播下游.因为u的行为可能是下列三种情况之一:实际传播下游、实际消失和最终消失,所以由δ和δ∗的定义可知：如果δ̸=δ∗,则当δ∈(δ,δ∗)时u∗∗∗可能实际消失.证毕.4.5中等大小对流速度对竞争收益的影响在这一节,我们研究中等大小对流速度的影响,我们将其分成三种情况就行讨论：c21≤β0,存在T∗>0使得对t≥T∗和x∈[g(t),s(t)]有v≤ϵ.因1122此,由v≥0可得∗ut≥d1uxx−βux+r1u(1−u−k1ϵ),g1(t)T1,(4.25)和ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u),g1(t)0.(4.26)通过利用比较原理,我们有:√(a)如果|I(T∗)|≥2dπ/4dr(1−kϵ)−β2,则物种u传播成功且limsup111111t→+∞u(t,x)≥1−k1ϵ,其中收敛性在R上局部一致.0(b)如果s12s∗,则u传播成功;如果|I1∞|≤2s∗,则u最终消失.118 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统(ii)如果s0≥s,则物种u传播成功且lim(u,v)=(1,0),其中收敛性在R1∗t→+∞上局部一致.(iii)如果s00使得当δ≤δ∗时物种u和v都最终消失;当1∗δ>δ∗时,物种u传播成功.证明(i)注意|I1(t)|是关于t的增函数.当|I1∞|>2s∗时.对任意充分小的√ϵ>0,存在T∗>0使得对任意t≥T∗有|I(t)|≥2dπ/4dr(1−kϵ)−β2.2221111令T∗=max{T∗,T∗}.则对任意t≥T∗,不等式(4.25)也成立,从而由(a)可知3123u传播成功.最终消失的结论可以由命题4.2.3得到.(ii)令ϵ→0,则由(i)和(a)易得结论成立.(iii)定义Γ={δ>0:当δ=δ时I1∞≤2s∗}.通过对(4.26)利用引理4.2.2和比较原理,我们得到如果δ充分小,则δ∈Γ,从而Γ̸=∅.记δ∗=supΓ.如果δ∗=+∞,则无需证明.如果δ∗<+∞,则由比较原理易得当δ<δ∗时u最终消失,而当δ>δ∗时u传播成功.现在只剩下证明当δ=δ∗时u最终消失.反证法.假设存在t>0使得当δ=δ∗时|I(t)|>2s+1.则由解对010∗初值的连续依赖性可知：对充分小的ϵ>0,具有初值u=(δ∗−ϵ)ϕ的解满足0|I(t)|>2s.因此当δ=δ∗−ϵ时u传播成功.这与δ∗的定义矛盾.证毕.1ϵ0∗注意定理4.5.1表明当c21≤β0和l>0,存在t1>0使√得对任意t≥t1有g2(t)≤min{−1−d2π/4d2r2(1−k2)−β2,−l},s2(t)≥119 西南大学博士学位论文√max{l,1+d2π/4d2r2(1−k2)−β2}.考虑下面的自由边界问题：ubt=d1ubxx−βubx+r1ub(1−ub−k1vb),gb1(t)t1,vbt=d2vbxx−βvbx+r2vb(1−vb−k2ub),gb2(t)t1,gb′(t)=−µub(t,gb(t)),sb′(t)=−µub(t,sb(t))t>t,11x111x11gb′(t)=−µvb(t,gb(t)),sb′(t)=−µvb(t,sb(t))t>t,22x222x21ub(t,x)≡0,x̸∈(gb1(t),sb1(t)),t≥t1;vb(t,x)≡0,x̸∈(gb2(t),sb2(t)),t≥t1,其中gb1(t1)max{s1(t1),l},gb2(t1)=g2(t1),sb2(t1)=s2(t1),当x∈[g1(t1),s1(t1)]时ub(t1,x)≥u(t1,x),当x∈(gb2(t1),sb2(t1))时vb(t1,x)≤v(t1,x),并且(ub(t1,x),vb(t1,x),gb1(t1),gb2(t1),sb1(t1),sb2(t1))在初始时刻t1满足(4.2)中的类似条件.由比较原理可得对所有(t,x)∈[t1,+∞)×[g1(t),s1(t)]有u(t,x)≤ub(t,x),并且对所有(t,x)∈[t1,+∞)×[gb2(t),sb2(t)]有vb(t,x)≤v(t,x).显然,对所有t≥t1有[−l,l]⊂[gb1(t),sb1(t)]和[−l,l]⊂[gb2(t),sb2(t)].注意：当t≥t1且x∈(gb1(t),sb1(t))时ub(t,x)>0,并且对所有t≥t1和x̸∈(g1(t),s1(t))有u≡0.所以,不管是否(g1(t1),s1(t1))⊂[−l,l],对所有(t,x)∈[t1,+∞)×[−l,l],我们都有u(t,x)≤ub(t,x)和vb(t,x)≤v(t,x).通过类似于引理4.3.2中的讨论可得limsupt→+∞ub(t,x)≤1,其中收敛性在√R上一致.因为β2d2π/4d2r2(1−k2)−β2,所以通过引理4.2.5中的类似讨论可得liminft→+∞vb(t,x)≥1−k2,其中收敛性在R上局部一致.因此,存在t2>t1使得对所有(t,x)∈[t2,+∞)×[−l,l]有ub(t,x)≤1+ϵ和vb(t,x)≥1−k2−ϵ.所以,(u,bvb)满足：ubt=d1ubxx−βubx+r1ub(1−ub−k1vb),x∈[−l,l],t>t2,vbt=d2vbxx−βvbx+r2vb(1−vb−k2ub),x∈[−l,l],t>t2,ub(t,x)≤1+ϵ,vb(t,x)≥1−k2−ϵ,x∈[−l,l],t≥t2.然后,由比较原理可得对[t2,+∞)×[−l,l]有ub(t,x)≤u(t,x)和vb(t,x)≥v(t,x),其中(u,v)是下面固定边界问题的解:ut=d1uxx−βux+r1u(1−u−k1v),x∈[−l,l],t>t2,vt=d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2u),x∈[−l,l],t>t2,(4.27)u(t,−l)=u(t,l)=1+ϵ,v(t,−l)=v(t,l)=1−k2−ϵ,t≥t2,u(t2,x)=1+ϵ,v(t2,x)=1−k2−ϵ,x∈[−l,l].120 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统所以,我们得到对所有[t2,+∞)×[−l,l]有u(t,x)≤u(t,x)和v(t,x)≥v(t,x).系统(4.27)是一个竞争系统,并生成一个以初值(1+ϵ,1−k2−ϵ)作为一个上界解的单调动力系统.由[18,132]中单调动力系统理论可知limt→+∞(u(t,x),v(t,x))=(ul,vl),其中(ul,vl)满足d1ulxx−βulx+r1ul(1−ul−k1vl)=0,x∈[−l,l],d2vlxx−βvlx+r2vl(1−vl−k2ul)=0,x∈[−l,l],ul(−l)=ul(l)=1+ϵ,vl(−l)=vl(l)=1−k2−ϵ.易得当l2≥l1时,对x∈[−l1,l1]有ul1(x)≥ul2(x)和vl1(x)≤vl2(x).令l→+∞,则由古典椭圆正则性理论可得(ul,vl)→(u∞,v∞),其中收敛性在R上局部一致,u∞和v∞满足d1u∞xx−βu∞x+r1u∞(1−u∞−k1v∞)=0,x∈R,d2v∞xx−βv∞x+r2v∞(1−v∞−k2u∞)=0,x∈R,u∞(x)≤1+ϵ,v∞(x)≥1−k2−ϵ,x∈R.考虑下面两个系统:e1t=d1e1xx−βe1x+r1e1(1−e1−k1e2),t>0,x∈R,e2t=d2e2xx−βe2x+r2e2(1−e2−k2e1),t>0,x∈R,e1(0,x)=1+ϵ,e2(0,x)=1−k2−ϵ,x∈R,和p1t=r1p1(1−p1−k1p2),t>0,p2t=r2p2(1−p2−k2p1),t>0,p1(0)=1+ϵ,p2(0)=1−k2−ϵ.易得()1−k11−k2lim(p1,p2)=,.t→+∞1−k1k21−k1k2由标准的比较原理和竞争系统的性质可知对t>0有u∞(x)≤e1(t,x)≤p1(t,x)和v∞(x)≥e2(t,x)≥p2(t,x),这暗示了u∞≤(1−k1)/(1−k1k2),v∞≥(1−k2)/(1−k1k2).证毕.121 西南大学博士学位论文+引理4.5.1.假设v传播成功且∥v0∥L∞≤1.则存在µ≥0使得对任意µ>µ+,存在δ∗(µ)>0使得当δ>δ∗(µ)时,s=+∞且物种u在实际传1111∞播成功意义下持续.证明因为β∗(c)是µ的增函数,所以存在µ+≥0使得对任意µ>µ+2111有β∗(c)>β.易得对t≥0有v(t,x)≤1,其中收敛性在R上一致.所以21ut≥d1uxx−βux+r1u(1−u−k1),g1(t)0.因而(u,s1,g1)是下面问题的一个上界解:ωet=d1ωexx−βωex+r1ωe(1−ωe−k1),ge1(t)0,ge′(t)=−µωe(t,ge(t)),se′(t)=−µωe(t,se(t)),t>0,11x111x1ωe(t,x)≡0,x̸∈(ge1(t),se1(t)),t≥0,ge1(0)=g1(0),se1(0)=s1(0);0<ωe(0,x)≤u(0,x),x∈(ge1(0),se1(0)).(4.28)从而由引理4.2.2可得,对任意µ>µ+,存在δ∗>0使得当δ>δ∗时ωe实际传1播下游,这暗示了结论成立.证毕.√定理4.5.2.假设2dr(1−k)/(1−kk)<βc±(1,r,d,µ).则2222111lim(u(t,x),v(t,x))=(0,1),在R上局部一致.(4.29)t→+∞+此外,如果∥v0∥L∞≤1,则存在µ>0和µ−>0使得当µ1<µ−时u最终消失.并且对任意µ>µ+,存在δ∗(µ)>0和δ(µ)>0使得当δ>δ∗时物种u11∗1实际传播下游,当δ<δ∗时u最终消失.证明显然,v传播成功.令{un},{vn}与定理4.3.2中的相同.当I1∞=R时.因为I2∞=R,所以由引理4.3.2中的类似讨论可得s2(t)+g2(t)−liminf≥c(1−k2,r2,d2,µ2),liminf−≥c(1−k2,r2,d2,µ2),t→+∞tt→+∞ts1(t)+g1(t)−limsup≤c(1,r1,d1,µ1),limsup−≤c(1,r1,d1,µ1).t→+∞tt→+∞t因此,对任意满足−c−(1−k,r,d,µ)0,存在t≥t使得对任意x∈[c∗t,c∗t]和t≥t有21122v(t,x)≥1−k2−ϵ.所以,ut≤d1uxx−βux+r1u(1−u−k1(1−k2−ϵ)),g1(t)2d1r1((1−k1)/(1−k1k2)+k1ϵ)的充分小的ϵ>0,存在t≥t使得对所有x∈[c∗t,c∗t]和t≥t有v(t,x)≥(1−k)/(1−kk)−ϵ.因32123212此,()1−k1ut≤d1uxx−βux+r1u+k1ϵ−u,g1(t)−∞.所以,通过运用引理4.3.3可得(4.29)显然成立.当I1∞̸=R时.(4.29)的结论可以通过类似于上面的方法得到.√令µ满足当µ=µ时β∗(a)=β,其中a=2dr(1−k)/(1−kk).−1−∗∗11112因为β>a∗,所以µ−>0存在.从而由引理4.2.2,(4.30)和比较原理可知对任意µ1<µ−都有物种u最终消失.µ+>0和δ∗(µ)>0的存在性可以由引理4.5.1和上面的讨论得到.由1β∗(c)关于c和µ的单调性,我们可以选取充分大的µ+使得当µ>µ+时0011β<β∗(a),然后δ(µ)>0的存在性可以由引理4.2.2和将比较原理应用到∗∗1(4.30)而得到.证毕.123 西南大学博士学位论文定理4.5.2给出了一个物种u实际传播下游且v传播成功的充分条件.下面,受[157]的启发,我们将给出一个I1∞=R,u在实际传播成功意义下持续且v传播成功的充分条件.由定理4.2.1可得0000−µ2m2t−s2≤g2(t)<−s2,s20,其中{√}2′β+β+2d2r2∥v0∥C([−s0,s0])m=2Kmax,22,122d2K2{√′}r2∥v0∥C([−s0,s0])m=2Kmax,22.222d2K2且K2与命题4.2.2中的相同.√命题4.5.2.假设β<2d1r1.令u0,v0,µ1,ri,di,ki(i=1,2)和β固定.则存在√β2√2d1r1+2−β2d1r1+β0<µl:=max{l1,l2}时,I1∞=R且物种u持续,其中持续性的定义与实际传播成功中持续性的定义相同,2d1π2d1πl1=√,l2=√,4d1(r1−λ)−(µ2m2+β)22d1r1−(µ2m1−β)24dr−β211λ=.8d1证明我们首先证明对t>0有g(t)≤−µmt−s0−l.令τ=µm.对12221022√任意τ∈(0,2dr+β2/2−β)和满足g(t)<−τt−s0的t,定义p∗(t,y)=011102u(t,x),v∗(t,y)=v(t,x),其中y=x+τt+s0.显然,g(t)≤x≤0当且仅当021g(t):=g(t)+τt+s0≤y≤τt+s0.注意y<0当且仅当x<−τt−s00有v∗(t,y)≡0,并且p∗(t,y)满足只要g(t)<0,就有p∗=dp∗−(τ+β)p∗+rp∗(1−p∗),g(t)0,t1yy0y1p∗(t,g(t))=0,p∗(t,0)>0,t>0;p∗(0,y)=u(0,y−s02),−s01+s02≤y≤0.124 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统考虑辅助函数τ0+βyπyϕ(y)=−e2d1sin,y∈[−l,0].1l1则ϕ(y)满足d1ϕyy−(τ0+β)ϕy+r1ϕ=λϕ,y∈[−l1,0];ϕ(−l1)=ϕ(0)=0.令{}p∗(0,y)λσ1=minmin,min.y∈(−l1,0)ϕ(y)y∈(−l1,0)r1ϕ(y)显然当y∈[−l,0]时σϕ(y)≤p∗(0,y),rσϕ(y)≤λ.令ψ(y)=σϕ(y).则11111ψ(y)满足d1ψyy−(τ0+β)ψy+r1ψ(1−ψ)≥0,−l10使得对所有t∈[0,t∗)有1g(t)<−l和g(t∗)=−l.所以g′(t∗)≥0,从而g′(t∗)≥−τ.由比较原理可得1110对(t,y)∈[0,t∗]×[−l,0]有p∗(t,y)≥ψ(y)且p∗(t∗,−l)=ψ(−l)=0,这暗示111了p∗(t∗,g(t∗))≥ψ(−l).所以yy1′∗∗∗∗∗∗−τ0≤g1(t)=−µ1ux(t,g1(t))=−µ1py(t,g(t))µ1σ1π−τ0+βl1≤−µψ(−l)=−e2d1,1y1l1矛盾.所以,对t≥0有g(t)<−l1,这就意味着当t→+∞时g1(t)≤−l1−τ0t−s0→−∞.接下来,我们考虑一个p∗(t,y)在y∈[−l,0]和t≥0上的固定边界21问题.则由比较原理可得对(t,y)∈[0,+∞)×[−l,0]有p∗(t,y)≥ψ(y).显然,对1充分小的ϵ>0,根据ψ(y)的定义可知：存在l−,l+使得当y∈[l−,l+]⊂[−l1,0]时ψ(y)≥ϵ.因此,由p∗(t,y)的定义可得当x∈[l−τt−s0,l−τt−s0]且−02+02125 西南大学博士学位论文t>0时u(t,x)≥ϵ.所以,当0<µ<µ且s0−s0>l时g=−∞,u在实21211∞际传播成功意义下持续.√通过类似于上面的讨论,我们可以推出存在0<µ<(2d1r1+β)/m1使得当002d1π0<µ2<µ,s1−s2>√:=l22d1r1−(µ2m1−β)2时,s1∞=+∞且u在实际传播成功意义下持续.显然,如果我们取σ1=σ2=σ3:=min{σ1,σ2}时,上面的讨论也成立.令µ=min{µ,µ},l=max{l1,l2},则结论成立.证毕.注4.5.1.命题4.5.2给出了一个物种u能够在实际传播成功意义下持续且I1∞=R的充分条件,这个条件与两个物种的竞争能力和物种v是否传播或消√失无关.注意g1∞=−∞的条件需要β<2d1r1,这与单物种能够传播成功的必要条件相一致.然而,在这里并没有得到物种u的收敛性结果.当v传播成功时,如果β2σ∗,则(i)中的结论成立.如果|I2∞|≤2σ∗,则物种v最终消失.(iii)如果s0<σ,则存在µ∗>0使得当µ≤µ∗时物种v最终消失,当µ>µ∗2∗22时物种v传播成功.126 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统证明显然,limt→+∞u(t,x)=0,其中收敛性在R上局部一致.(i)反证法,我们首先假设|I2∞|<+∞.则存在l>0使得对所有t≥0√有[g2(t),s2(t)]⊆[−l,l].对任意满足β<2d2r2(1−k2ϵ)的充分小的ϵ>0,存在t1>0使得对(t,x)∈[t1,+∞)×[−l,l]有u(t,x)≤ϵ.所以vt≥d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2ϵ),g2(t)0和g′(0)<0,所以对充分小的ϵ有22√|I2(t1)|≥2d2π/4d2r2(1−k2ϵ)−β2.从而由比较原理可得v传播成功,矛盾.其次,我们假设|I2∞|=+∞但I2∞̸=R.它可以分成两种情况:对某些常数b1<0有g2∞>b1和对某些常数b2>0有s2∞b1的√情况,另一个可类似的分析.对任意满足β<2d2r2(1−k2ϵ)的充分小的ϵ>0,存在t>0使得对(t,x)∈[t,+∞)×[b,s0]有u(t,x)≤ϵ.因此v(t,x)满足22120vt≥d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2ϵ),g2(t)t,t2xxx22222g′(t)=−µv(t,g(t)),t≥t,22x22(4.33)0v(t,x)≡0,x̸∈(g2(t),s2),t≥t2,00−∞时λ+(g)≥0.因为√2∞2∞λ+(g)≥0当且仅当s0−g≤2dπ/4dr(1−kϵ)−β2,所以这个结论成2∞22∞2222立.127 西南大学博士学位论文因为g′(0)<0,所以对充分小的ϵ,我们有2√s0−g(t)≥2dπ/4dr(1−kϵ)−β2,2222222√这暗含了s0−g>2dπ/4dr(1−kϵ)−β2.从而由上面的结论可知g=22∞22222∞−∞,这与g2∞>b1相矛盾.综合上述讨论,我们可以推出I2∞=R.因为u→0且收敛性在R上局部一致,所以由类似于定理4.3.2中的讨论可得limt→+∞v(t,x)=1且其收敛性在R上局部一致.因此结论成立.(ii)当|I2∞|>2σ∗时,存在t3≥0使得|I2(t3)|≥2σ∗.令(u(t3),s1(t3),g1(t3),v(t3),s2(t3),g2(t3))为初值,则由类似于(i)中的方法易得结论成立.当|I2∞|≤2σ∗时,由命题4.2.3易得结论成立.(iii)因为v(t,x)满足vt≤d2vxx−βvx+r2v(1−v),x∈(g2(t),s2(t)),t>0.所以由比较原理和引理4.2.3可得：存在µ>0使得当µ2≤µ时物种v最终22消失.我们现在证明存在µ2>0使得当µ2≥µ2时物种v传播成功.由(ii)可知当存在t∗>0使得|I2(t∗)|≥2σ∗时物种v将传播成功.假设相反,则对t≥0和µ2>0有[g2(t),s2(t)]⊆[−2σ∗−1,2σ∗+1].因此,对任意满足√β<2d2r2(1−k2ϵ)的充分小的ϵ>0,存在t4>0使得对x∈[g2(t),s2(t)]和t≥t4有u(t,x)≤ϵ.所以vt≥d2vxx−βvx+r2v(1−v−k2ϵ),g2(t)0使得当µ2≥µ时v传播成功,矛盾.所以存在µ2>0使得当µ2=µ2时物种v传播成功.由比较原理可知当µ2≥µ2时v也传播成功.综合上述结论,µ∗的存在性可以通过类似于[30,定理5.11]或定理4.5.1中的讨论得到.证毕.上面的研究表明物种v将传播成功或最终消失,而u→0且其收敛性在R上局部一致.下面,我们关注u能否实际传播？记u0(x)=δϕ.0定理4.5.5.假设c11≤β0和δ+>0使得当µ1>µ+和δ>δ+时u实际传播下游且v传播成功.128 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统证明因为∥v0∥L∞≤1,所以v(t,x)≤1且其收敛性在R上一致.因此ut≥d1uxx−βux+r1u(1−u−k1),g1(t)0.因为当µ→+∞时β∗(c)→+∞,所以存在µ>0使得当µ>µ时121+1+β∗(c)>β.从而由引理4.2.2和比较原理可知关于u的结论成立.关于v的结21论可以由定理4.5.4得到.证毕.4.5.3c22≤β0和δ+>0使得当µ1>µ1+且δ>δ+时,s1∞=+∞且物种u在实际传播成功意义下持续.(ii)假设s00使得当δ<δ时u最终消失且v传1∗2∗∗∗播成功.通过交换u和v,我们也可得到关于v的类似的结论.4.6结论和讨论在这一章中,我们提出并分析了一个具有对流和四个自由边界的竞争模型来研究对流对两个竞争物种竞争收益的影响.我们主要关注传播-消失的分类、解的长时间行为,以及物种传播或消失的判别准则.我们发现随着对流速度的变化,两个物种从都能够传播成功到一个实际传播而另一个传播成功,再到都实际传播.这表明着对流对生活在对流环境中的物种的幸存具有重要的影响且能够改变竞争收益.在小的对流速度的情况时,我们建立了传播-消失四分法、当两个物种都传播成功时解的长时间行为.我们同时也得到了传播速度的估计、决定物种能否传播129 西南大学博士学位论文成功的最小栖息地大小和依赖于移动参数的物种传播或消失的准则.我们的结果表明在小的对流速度时,对流对竞争收益的影响不大,并且所得到的结果可以看成是对流不存在[167]的情况的扩展.在大的对流速度的情况下,我们得到当t→+∞时,两个物种都局部一致收敛到零,这与[146]中的物种在大的对流速度下不能幸存相一致.然而,在我们的自由边界问题中,在大的对流速度下,依赖于移动参数和初值,物种仍然可能实际传播.在中等大小的对流速度情况下,系统的动态比较复杂.如果c21≤β0,每个物种都能够在实际传播成功意义下持续且物种的范围趋向于无界(依赖于初值和移动参数),这显然与固定边界问题不同.在小√的对流速度情况下.如果β≤2d1r1,则物种u可能会试图降低它的扩散能力√使得s0>s∗,从而使其可以传播成功.然而,当β>2dr,物种u可能会增加111√它的扩散能力以使其能够传播成功.所以,β=2d1r1可以看成是物种扩散速率进化的阈值.在文献[88,90]中,作者得到：依赖于边界条件,大的或中等大小的扩散速率可能会被选择.我们的结果表明初始栖息地大小s0(i=1,2)对物种传播成功与否非常重i要.如果初始栖息地太小,并且移动参数和初值也比较小,则物种必然最终消失.我们得到：在小的对流速度的情况下,当s0≥s时,物种u能够一直传播成1min功,并且这个结论与竞争者和别的参数无关.因而最小栖息地大小是决定物种传130 第4章一个具有四个自由边界和对流的弱竞争系统播成功与否的一个重要因素.如果k1
