2019版高考数学大复习第七章不等式第44讲不等式的综合应用学案理

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1、第44讲　不等式的综合应用考试要求　掌握解决不等式综合问题的方法(C级要求).诊断自测1.(必修5P102习题7改编)函数y＝x＋(x≠0)的值域是________.解析　当x>0时，y＝x＋≥2＝4；当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－4.答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞)2.(必修5P106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足＋＝1，则x＋y的最小值是________.解析　∵x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝2＋8＋＋，x>0，y>0，∴>0，>0，x＋y≥10＋2＝18，当且仅当＝时等号成立

2、，又＋＝1，∴当x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18.答案　183.(必修5P98练习2(2)改编)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.解析　由a，b∈R*，得a＋b≥2，则ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0⇒(－3)(＋1)≥0⇒≥3，∴ab≥9.答案　[9，＋∞)4.设x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________.解析　不等式化为k≥＋，因为∈(0，1]，所以k≥2.答案　k≥25.(必

3、修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________.解析　设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为A＝A；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为A＝A.因为>，所以方案丙提价最多.答案　方案丙考点一　含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围.解　由x2－x－2>0有x＜

4、－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0，因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k的取值范围是[－3，2).【训练1】已知函数f(x)＝lg[(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1]的定义域为R，求实数m的取值范围.解　∵函数f(x)的定义域为R，∴对于任意x∈R，恒有(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1>0.①若m2－3m＋2＝0，则m＝2或1.当

5、m＝1时，不等式即为1>0，符合题意；当m＝2时，不等式即为x＋1>0，对任意x∈R不恒成立，∴m＝2不合题意，舍去.②若m2－3m＋2≠0，由题意得解得即m<1或m>.综上可得，m的取值范围是(－∞，1]∪.考点二　基本不等式的灵活运用【例2】设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为________.解析　由＋＝1，得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值为16.答案　16【训练2】

6、设实数n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0对任意x∈[－4，2]都成立，则的最小值为________.解析　设f(x)＝2xm＋(2－x)n－8＝(2m－n)x＋(2n－8)为关于x的一次函数.由题设得即作出不等式组所表示的可行域如图所示，设＝t，则t表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率，可得≤t≤3.g(t)＝＝－t3在≤t≤3上为减函数，所以－≤g(t)≤－.故的最小值为－.答案　－考点三　多元最值问题【例3】(1)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为

7、________.(2)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________.解析　(1)由已知及三角形三边关系得∴∴两式相加得0<2×<4，∴的取值范围为(0，2).(2)∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，∴＝≥＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”.答案　(1)(0，2)　(2)3考点四　不等式与函数、三角、向量等知识的结合【例4】(一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝C且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC面积的最大值为________.解析　如图，在△A

8、BC中，设D为BC的中点，则AD⊥BC.法一　由题知b＝c，则7a2＋2b2＝4，所以b2＝2－a2，所以△ABC的面积S＝a＝a＝··≤·＝，当且仅当a2＝2－a2，即a2＝时取等号，所以△ABC的面积最大值为.法二　设BD＝CD＝m，AD＝n，则由已知得7(2m)2＋2(m2＋n2)＝4，所以15m2＋n2＝2≥2mn，所以mn≤，当且仅当15m2＝n2时取等号，此时m2＝，所以△ABC面积的最大值为.答案　一、必做题1.已知常数a>0