高考数学复习第七章不等式第40讲一元二次不等式学案理

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1、第40讲　一元二次不等式考试要求　1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系(B级要求)；2.求解一元二次不等式(C级要求).诊断自测1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是________.解析　解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).答案　(－∞，－2)∪(5，＋∞)2.(扬州市2018届高三上学期期中)不等式<2的解集为_______

2、_.解析　<2，即<0等价于(1－x)x<0，∴不等式的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞).答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)3.(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.答案　－144.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝500＋30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要

3、满足的条件是__________.解析　由题意得(160－2x)·x－(500＋30x)≥1300，解得20≤x≤45.答案　[20，45]5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2－2x＋k2－2>0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则实数k的取值范围是________.解析　由x2－2x＋k2－2>0，得k2>－x2＋2x＋2，设f(x)＝－x2＋2x＋2，f(x)＝－(x－1)2＋3，当x≥2，可求得f(x)max＝2，则k2>f(x)max＝2，所以k>或k<－答案　(－∞，－)∪(，＋∞)知识梳理1

4、.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－)∪(－，＋∞)R一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2)∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a

5、)·(x－b)>0{x

6、xb}{x

7、x≠a}{x

8、xa}(x－a)·(x－b)<0{x

9、a

10、b0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.考点一　一元二次不等式及分式不等式的解法【例1】解下列关于x的不等式.(1)－6x2－5x＋1<0;(2)≤3.解　(1)原不等式转化为6x2＋5x－1

11、>0，方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝，x2＝－1.根据y＝6x2＋5x－1的图象，可得原不等式的解集为.(2)原不等式变形为－3≤0，即≥0，所以原不等式的解集为.规律方法　(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为<0(a0(a

12、)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.解　(1)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x

13、1

14、a1.若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－1)<

15、0无解；②当a>1时，<1，解(x－1)<0，得1，解(x－1)<0，得1

16、x<或x>1}；当a＝0时，解集为{x

17、x>1}；当01时，解集为.规律方法　含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数