高考数学复习第七章不等式第43讲不等式恒成立问题学案理

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1、第43讲　不等式恒成立问题考试要求　1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.诊断自测1.设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为________.解析　设f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，　t∈[－2，2]，问题转化为：f(t)＞0对t∈[－2，2]恒成立⇔⇔⇒0＜x＜或x＞8.故实数x的取值范围是∪(8，＋∞).答案　∪(8，＋∞)2.不等式＜1对一

2、切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________.解析　由4x2＋6x＋3＝＋＞0，对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立.则Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，解得1＜m＜3，故实数m的取值范围是(1，3).答案　(1，3)3.(一题多解)已知f(x)＝＞0在x∈上恒成立，则实数a的取值范围为________.解析　法一　∵f(x)＝＞0对x∈恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈恒成立.设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈，问题转化为：g(x)min＞0g(x

3、)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1,x∈，∴g(x)在上是增函数.∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，∴3＋a＞0⇔a＞－3.即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).法二　∵f(x)＝＞0对x∈恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对x∈恒成立⇔a＞－(x2＋2x)对x∈恒成立设φ(x)＝－(x2＋2x)，x∈.问题转化为：a＞φ(x)max.φ(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈.∴φ(x)在上是减函数.∴φ(x)max＝φ(1)＝－3，∴a＞－3，即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).答案　(－3，＋∞)4.若定义在(0，＋∞)的函数f(x)满足f(

4、x)＋f(y)＝f(xy)，且x>1时不等式f(x)<0成立，若不等式f()≤f()＋f(a)对于任意x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________.解析　设01，有f<0.这样f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f＋f(x1)－f(x1)＝f<0，则f(x2)0，所以a的取值范围是(0，].答案　(0，]知识梳理1.恒成立问题转化成最值处理a＞f(x)对x∈D恒成立⇔a＞f(

5、x)max，a＜f(x)对x∈D恒成立⇔a＜f(x)min.2.恒成立问题处理方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等

6、式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)2x＋a－1在a∈[－1，1]上恒成立.设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，则须满足⇔⇒x>2或x<0，故实数的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).规律方法　设f(x)＝a

7、x＋b，f(x)＞0在x∈上恒成立⇔f(x)＜0在x∈上恒成立⇔考点二　一元二次不等式恒成立问题【例2】已知x∈时，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x＞0恒成立，求实数a的取值范围.解　设2x＝t,∵x∈，∴t∈，原不等式可化为：a－a2＞.要使上式对t∈恒成立，只需a－a2＞，t∈，＝－＋.由∈，∴＝－，∴a－a2＞－，即4a2－4a－3＜0，从而－＜a＜.即实数a的取值范围是.考点三　高次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝－x3＋ax，其中a∈R，g(x)＝－x，且f(x)＜g(x)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围.解　f(x)＜g(x)在x∈上恒成立⇔

8、－x3＋a