高考数学复习第七章不等式第42讲基本不等式及其应用学案理

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1、第42讲　基本不等式及其应用考试要求　1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为2.(　　)(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条

2、件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为－5.(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×2.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案　813.(教材改编)若00，故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立.∴0<≤.

3、答案　4.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x＋2y＝1，那么＋的最小值为____________.解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当x2＝2y2时取得最小值3＋2.答案　3＋25.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sinx＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2；③若x∈R，则≥4.其中正确结论的序号是________.解析　①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③＝

4、x

5、＋≥2＝4

6、，当且仅当x＝±2时“＝”成立.答案　①③知识梳理1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)＋≥2(a，b同号).(3)ab≤，(a，b∈R).(4)≥(a，b∈R).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正

7、数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大).考点一　利用基本不等式求最值(多维探究)命题角度1　配凑法求最值【例1－1】(1)已知01)的最小值为________.解析　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤

8、·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号.(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(3)由于x>1，故y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.答案　(1)　(2)1　(3)2＋2命题角度2　常数代换或消元法求最值【例1－2】(1)(2018·盐城模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·南京模拟)已知x＞0，y＞

9、0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.(3)(2017·苏州期末)已知ab＝，a，b∈(0，1)，那么＋的最小值为________.解析　(1)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立.(2)法一　(消元法)由已知得x＝.因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)

10、≤·，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0