高考数学总复习第七章不等式、推理与证明第44讲数学归纳法练习理新人教版

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1、第44讲　数学归纳法夯实基础　【p94】【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【基础检测】1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对【解析】本题证的是对n＝1，3，5，7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．【答案】B2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)，第一

2、步应验证不等式(　　)A．1＋＜2B．1＋＋＜3C．1＋＋＋＜3D．1＋＋＜2【解析】因n≥2，故应验证n＝2，应选D.【答案】D3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明n的起始值n0应取________．【解析】当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22<22＋1；当n＝3时，23<32＋1；当n＝4时，24<42＋1；而当n＝5时，25>52＋1.∴n0＝5.【答案】54．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________．【

3、解析】由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想：Sn＝.【答案】【知识要点】1．归纳法由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性结论__的推理方法叫做归纳法．2．数学归纳法对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法叫做__数学归纳法__．3．数学归纳法证明步骤(1)数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n

4、有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取__第一个值n0__时命题成立．②(归纳递推)假设__n＝k__(k≥n0，k∈N*)时命题成立，再证明当__n＝k＋1__时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从__n0__开始的所有正整数n都成立．(2)用框图表示数学归纳法的步骤　假设②__n＝k(k≥n0且k∈N*)__时结论成立，推得③__n＝k＋1__时结论亦成立　　　　　典例剖析　【p94】考点1　用数学归纳法证明等式设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－

5、1](n≥2，n∈N*)．【解析】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【点评

6、】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．考点2　用数学归纳法证明不等式已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，用数学归纳法证明：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．【解析】(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋

7、…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*，不等式S2n>1＋都成立．【点评】用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．考点3　用数学归纳法证明整除性问题设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)证明：对任意正整数n，f(

8、n)是8的倍数．【解析】(1)代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(2)①