浙江高考数学总复习第七章数列推理与证明第6讲数学归纳法学案

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1、第6讲　数学归纳法最新考纲　1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1

2、”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　)解析　对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－

3、3)条时，第一步检验n等于(　　)A.1B.2C.3D.4解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案　C3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)-8-A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析　f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.答案　D4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证

4、的不等式是________.解析　当n＝2时，式子为1＋＋<2.答案　1＋＋<25.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.答案　2k＋16.(2017·宁波调研)用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.解析　因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n

5、取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.答案　2　x2k－y2k能被x＋y整除考点一　用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*).证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，-8-左边＝右边，所以等式成立.(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.规律方法　(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式

6、两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【训练1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝

7、(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立.考点二　用数学归纳法证明不等式【例2】(2017·浙江五校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b

8、n＝2(log2an＋1)(n∈N*).证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立.-8-(1)解　由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0，且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，