浙江高考数学总复习第七章数列推理与证明第3讲等比数列及其前n项和学案.doc

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1、第3讲　等比数列及其前n项和最新考纲　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.2.等比数

2、列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an

3、}是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.(　　)(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数.(　　)(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)-7-(5)数列{an}为等比数列，则S

4、4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)解析　(1)在等比数列中，an≠0.(2)在等比数列中，q≠0.(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(4)当a＝1时，Sn＝na.(5)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×2.(2017·太原模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)A.2B.4C.D.2解析　在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数

5、列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝，a1＝＝4.答案　B3.(2017·湖北省七市考试)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)A.8B.9C.10D.11解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C.答案　C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.解析　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126

6、，解得n＝6.答案　65.(2015·广东卷)若a，b，c三个正数成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b的值为________.解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.即b2＝(5＋2)(5－2)＝1，又b>0，∴b＝1.答案　16.(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.-7-解析　由解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝

7、3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.∴S5＝＝121.答案　1　121考点一　等比数列基本量的运算【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)A.B.C.D.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.解析　(1)显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.(2)设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝2－＋.记t＝－＋＝－(n2－7n

8、)，结合n∈N*，可知n＝3或4时，t有最大值6.-7-又y＝2t为增函数.所以