2018年秋高中数学 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式学案

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1、第2课时　两角和与差的正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)[自主预习·探新知]两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1[基础自测]1．思考

2、辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．(　　)[解析]　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子

3、两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．已知tanα＝2，则tan＝________.－3　[tan＝＝＝－3.]3．＝________.　[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.][合作探究·攻重难]两角和与差的正切公式的正用　(1)已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝________.(2)如图312，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________

4、.图312[思路探究]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)　(2)　[(1)∵tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.][规律方法]　1.公式T(α±β)的结构特征和符号规律：

5、(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．[跟踪训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tanα＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝________.(1)　(2)3　[(

6、1)因为tanα－＝，所以tanα＝tanα－＋＝＝＝.(2)因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用　(1)＝________.(2)＝________.【导学号：84352318】[思路探究]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)　(2)－1　[(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.][规律方

7、法]　公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan＝1，tan＝，tan＝等.要特别注意tan＝，tan＝.[跟踪训练]2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则(　　)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A　[∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos

8、(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtan