2018年秋高中数学 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第1课时两角和与差的正弦余弦公式学案

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1、第1课时　两角和与差的正弦、余弦公式学习目标：1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．[自主预习·探新知]1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R

2、2．两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R3．重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝.[基础自测]1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(　　)(3)对于任意α，β∈R，s

3、in(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．(　　)(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.(　　)[解析]　(1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sinβ.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)正确．因为sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式正确．[答案]　(1)√　(2)√　(3

4、)×　(4)√2．cos57°cos3°－sin57°sin3°的值为(　　)A．0　　　　B．　　　　C．　　　　D．cos54°B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos60°＝.]3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝________.－　[∵cosα＝－，α是第三象限的角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝sinα－cosα＝×－×＝－.][合作探究·攻重难]给角求值问题　(1)cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为(　　)A．－　　　　　　　B．－C．D．(2)若θ是第二象限角且sinθ＝，则cos(θ

5、＋60°)＝________.(3)求值：(tan10°－).(1)D　(2)－　[(1)∵cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，∴原式＝cos70°sin50°－(－sin70°)cos50°＝sin(50°＋70°)＝sin120°＝.(2)∵θ是第二象限角且sinθ＝，∴cosθ＝－＝－，∴cos(θ＋60°)＝cosθ－sinθ＝×－×＝－.(3)原式＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝－2.][规律方法]　解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求

6、值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练]1．化简求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．[解]　(1)原式＝＝＝＝sin30°＝.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(

7、α＋30°)－cosα＝＋－cosα＝0.给值求值、求角问题　(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________.(2)已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究]　(1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－

8、(α－β)求cosβ再求β.(1)　[(1)由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝.再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)