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1、数列通项公式的求法26.数列通项公式求法1课时序号：36重点:1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法；2、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.3、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、辅助数列法等等难点：1、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法关键：1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法2.公式法当已知数列
2、为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。3.Sn法1.观察法递推公式的概念在数列中，已知数列的首项（或者是前几项），如果数列中任意一项与它的前一项（或者是前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的递推公式。例如：都是递推公式,由这些递推公式可以求出数列的每一项。问题1已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an=an-1+nan-1=an-2+（n-1）…………a3=a2+3a2=a1+2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+
3、…+3+2=1+n+(n-1)+…+3+2=n(n+1)/2当n=1时，a1=(1×2)/2=1,故，an=n(n+1)/2变形已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)…………a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+…+22+21)-[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=1+(2n-2)+n(n-1)/2=2n+n(n-1)/2–1当n=1时，a1=2+0-
4、1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n)得：当n>1时，有an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)…………………a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1).一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4.叠加法
5、也可用横式来写：(也称累加法）已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.问题2（1）当f(n)为常数,即
6、：（其中q是不为0的数）,此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得n>1时，，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。(也称累乘法、累积法）问题3已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-3解法2
7、：因为an+1=2an+3，所以n>1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法
8、1：待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，6.辅助数列法这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1
