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1、求数列的通项公式讷河市拉哈一中谷洪明求数列的通项公式数列的通项公式是数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系基本数列的通项公式(1)1,2,3,4,…(2)1,3,5,7,…(3)3,5,7,9,…(4)2,4,6,8,…(5)1,4,9,16,…(6)2,4,8,16,…(7)–1,1,–1,1,…(8)1,–1,1,–1,…an=(–1)n–1或(–1)n–1(9)等差数列的通项公式an=a1+(n–1)d(10)等比数列的通项公式an=
2、a1qn–1一、观察法一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式解：变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，……例2，求数列3，5，9，17，33，……解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是
3、不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成或者两个不同的数列（便不同）∴通项公式为：补充1：写出下列数列的一个通项公式总结:(1)掌握基本数列的通项公式.(2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母分别找通项.(3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母分别找通项.(4)数列中的项正负交叉出现时,常用(-1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正出现时,常用(-1)n来调解.(5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一.(6)并不是所有的数列都有通项公式数列通项公式的常见求法类型1.已
4、知数列的前几项,求数列的通项公式(1)3,5,9,17,…(2)(3)(4)(5)_1,7,_13,19,…(6)9,99,999,9999,…二、前n项和法类型二、前n项和法已知前n项和，求通项公式设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：等差数列前n项和公式的应用例2：已知数列﹛an﹜的前n项和公式为sn=2n2-30n:这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；解：将n-1带入数列的前n项和公式，得Sn
5、-1=2(n-1)2-30(n-1).因此an=sn-sn-1=4n-32(n≥2)当n=1时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所以这个数列的通项公式为an=4n-32.又因为an-an-1=(4n-32)-[4(n-1)-32]=4(n≥2),所以﹛an﹜是等差数列。等差数列前n项和公式的应用变式：已知数列﹛an﹜的前n项和公式为sn=2n2-30n+1这个数列还是等差数列吗？求出它的通项公式；思考？如果一个数列的前n项和的公式是sn=an2+bn+c(a,b,c为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？结论：当c=0时
6、这个数列是等差数列类型2.已知数列的前n项和,即sn与n的关系,求数列的通项公式.例1.已知数列的前n项和sn=3n–2,求它的通项公式?分析:大家首先需要理解数列的前n项的和与前n–1项的和.sn=a1+a2+a3+…+an-1+an当n≥2时sn-1=a1+a2+a3+…+an-1an=sn–sn-1解:当n=1时,a1=s1=31_2=1当n≥2时,an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=3×3n-1_3n-1=2×3n-1由于a1=1不适合上式.∴an=练习：已知数列的前n项和sn=2n_1求数列
7、的通项公式例7．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）解：（1），当时由于也适合于此等式∴（2），当时由于不适合于此等式∴【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an.(1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.当n=1时,4×1+1=5=a1,所以an=4n+1.(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,当n≥2时
8、,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.当n=1时,2×31-1=2≠a1,所以an=考点2an与Sn关系式的应用【典例2】(1)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( )A.15 B.16
