数列通项公式的求法.ppt

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1、知识点——数列通项公式的求法数列通项公式的求法【累加法】形如(n=2、3、4…...)且可求，则用累加法求an.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.数列通项公式的求法【累加法】典型例题在数列{an}中，a1=1，(n=2、3、4……)，求{an}的通项公式.解：∵n=1时,a1=1这n-1个等式累加得：数列通项公式的求法【累加法】故且a1=1也满足该式∴变式训练在数列{an}中，a1=1,求an.数列通项公式的求法【累加法】解：n=1时,a1=1,以上n-1个等式累加得故且a1=1也满足该式∴数列通项公式的求法【累乘法】

2、形如(n=2、3、4……),且可求，则用累乘法求an.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.典型例题在数列{an}中，a1=1,求an.数列通项公式的求法【累乘法】解：由已知得分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式数列通项公式的求法【累乘法】变式训练已知数列{an}满足求an.解：由已知得分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即所以又因为也满足该式，所以数列通项公式的求法【构造等比数列法】原数列{an

3、}既不等差，也不等比.若把{an}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an.该法适用于递推式形如或或其中b、c为不相等的常数，f(n)为一次式.数列通项公式的求法【构造等比数列法】典型例题已知数列{an}满足a1=1,求数列{an}的通项公式解：构造新数列{an+p}，其中p为常数，使之成为公比是an的系数2的等比数列即an+1+p=2(an+p)整理得：an+1=2an+p使之满足an+1=2an+1∴p=1即{an+1}是首项为a1+1=2，q=2的等比数列∴a1+1=2·2n-1an=2n-1.数列通项公式的求法

4、【构造等比数列法】变式训练设数列{an}的首项,n=2、3、4……，求{an}的通项公式.解：构造新数列{an+p}，使之成为的等比数列即整理得：满足得∴p=-1即新数列{an-1}首项为an-1，的等比数列∴故数列通项公式的求法【构造等差数列法】数列{an}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出an.典型例题数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2)且a4=81.求(1)a1、a2、a3(2)是否存在一个实数λ，使此数列为等差数列？若存在求出λ的值及an；若不存在，说明理由.数

5、列通项公式的求法【构造等差数列法】解：(1)由a4=2a3+24-1=81得a3=33；又∵a3=2a2+23-1=33得a2=13；又∵a2=2a1+22-1=13，∴a1=5.(2)假设存在一个实数λ，使此数列为等差数列即该数为常数∴λ=-1即为首项d=1的等差数列∴+(n-1)×1=n+1∴数列通项公式的求法【构造等差数列法】变式训练数列{an}满足首项为a1=-2,求数列{an}的通项公式.解：两边同除以得∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴故数列通项公式的求法【取倒数法】有些关于通项的递推关系式变形后含anan+1项，直接求相邻

6、两项的关系很困难，但两边同除以anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an.典型例题已知数列{an},求an.数列通项公式的求法【取倒数法】解：把原式变形得两边同除以anan+1得∴是首项为-1，d=-1的等差数列故∴数列通项公式的求法【取倒数法】变式训练1.已知数列{an}满足求数列{an}的通项公式解：把原式变形成两边同除以3anan-1得即……（1）构造新数列使其成为公比q=的等比数列数列通项公式的求法【取倒数法】即整理得：满足⑴式使∴λ=-1∴数列是首项为的等比数列∴∴数列通项公式的求法【取倒数法】2.已知各项均为

7、正数的数列{an}满足:a1=3,且求数列{an}的通项公式.解：把原式变形为两边同除以anan+1得移项得：所以新数列是首项为q=2的等比数列.故解关于an的方程得数列通项公式的求法【利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项】有些数列给出{an}的前n项和Sn与an的关系式Sn=f(an)，利用该式写出Sn+1=f(an+1),两式做差，再利用an+1=Sn+1-Sn导出an+1与an的递推式，从而求出an.1.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足S1＞1且求{an}的通项公式.数列通项公式的求法【利用公式an=Sn-S

8、n-1(n≥2)求通项】解：由解得a1=1或a1=2，由已知a1=S1＞1，因此a1=2又由得∵an＞0∴an-1–an=3从而{an}是首项为2，公差为3的等差数列，故{an}