《数列通项公式求法》PPT课件

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1、数列通项公式的求法26.数列通项公式求法1课时序号:36重点:1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法;2、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.3、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、辅助数列法等等难点:1、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法关键:1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法2.公式法当已知数列

2、为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。3.Sn法1.观察法递推公式的概念在数列中,已知数列的首项(或者是前几项),如果数列中任意一项与它的前一项(或者是前几项)之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数列的递推公式。例如:都是递推公式,由这些递推公式可以求出数列的每一项。问题1已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解:an=an-1+nan-1=an-2+(n-1)…………a3=a2+3a2=a1+2各式相加得,an=a1+n+(n-1)+

3、…+3+2=1+n+(n-1)+…+3+2=n(n+1)/2当n=1时,a1=(1×2)/2=1,故,an=n(n+1)/2变形已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解:an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)…………a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得,an=a1+(2n-1+2n-2+…+22+21)-[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=1+(2n-2)+n(n-1)/2=2n+n(n-1)/2–1当n=1时,a1=2+0-

4、1=1,故,an=2n+n(n-1)/2-1(1)若f(n)为常数,即:an+1-an=d,此时数列为等差数列,则an=a1+(n-1)d(2)若f(n)为n的函数时,用累加法.方法如下:由an+1=an+f(n)得:当n>1时,有an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)…………………a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1).一般地,对于型如an+1=an+f(n)的通项公式,只要f(n)能进行求和,则宜采用此方法求解。4.叠加法

5、也可用横式来写:(也称累加法)已知,a1=a,an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。备注:本题是关于an和an+1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出.问题2(1)当f(n)为常数,即

6、:(其中q是不为0的数),此时,数列为等比数列,an=a1·qn-1.(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得n>1时,,5.叠乘法对于型如:an+1=f(n)·an类的通项公式,当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时,宜采用此方法。(也称累乘法、累积法)问题3已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1:由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3)所以{an+3}是以a1+3为首项,以2为公比的等比数列,所以:an+3=(a1+3)×2n-1故an=6×2n-1-3解法2

7、:因为an+1=2an+3,所以n>1时,an=2an-1+3,两式相减,得:an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项,以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)(1)若c=1时,数列{an}为等差数列;(2)若d=0时,数列{an}为等比数列;(3)若c≠1且d≠0时,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过构造辅助数列来求.方法

8、1:待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有:m=d/(c-1)因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,6.辅助数列法这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1

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