高考数学专题复习：分类讨论思想

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1、高考冲刺：分类讨论思想　　　　　　　　　　　　编稿：林景飞　　　审稿：张扬　　　责编：辛文升热点分析高考动向　　分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.　　数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类讨论的常见情形　　（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则

2、必　　　　须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.　　（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下　　　　结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项　　　　和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.　　（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，　　　　a＜0，a＞0解法是不同的.　　（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的　　　　位置关系等.

3、　　（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.　　（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数　　　　的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2．分类的原则　　（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；　　分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.

4、　　（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.　　当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3．分类讨论的一般步骤　　第一，明确讨论对象，确定对象的范围；　　第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；　　第三，逐类讨论，获得阶段性结果；　　第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应注意的问题　　第一，按主元分类的结果应求并集.　　第二，按参数分类的结果要分类给出.　　第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能

5、，应尽量避　　　　　免分类.经典例题透析类型一：不等式中的字母讨论　　1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是________.　　思路点拨：依据式子的特点，进行整理，分子分母同除以x.　　解析：对一切恒成立，　　　　　在R+上的最大值.　　　　　而.　　　　　当且仅当即x=1时等取号.　　　　　∴.　　举一反三：　　【变式1】解关于的不等式:（）.　　解析：原不等式可分解因式为:，　　（下面按两个根与的大小关系分类）　　（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；　　（1）当，即时，不等式的解集为：；　　（2）当，即或时，不等式的解集为：；　　综上所述，原不

6、等式的解集为：　　当或时，；　　当时，；　　当或时，.　　【变式2】解关于的不等式:.　　解析：　　（1）当时，不等式为,解集为；　　（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：　　　　①　　　　即时，方程有两根　　　　.　　　　则原不等式的解为.　　　　②　　　　即时，方程没有实根，　　　　此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.　　　　③　　　　即时，方程有两相等实根为，　　　　则原不等式的解为.　　（3）当时，恒成立，　　　　即时，方程有两根　　　　.　　　　此时，为开口向下的抛物线，　　　　故原不等式的解集为.　　综上所述，原不等式的解集为：　　当时，解集为；　　当时，解集

7、为；　　当时，解集为；　　当时，解集为.类型二：函数中的分类讨论　　2、设为实数，记函数的最大值为，　　（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；　　（Ⅱ）求；　　（Ⅲ）试求满足的所有实数.　　解析：　　（I）∵，　　　　∴要使有意义，必须且，即　　　　∵，且……①　　　　∴的取值范围是，　　　　由①得：，　　　　∴，，　　（II）由题意知即为函数，的最大值，　　　　　∵时，直线是抛物线的对称轴，　　　　　∴可分以下几种情况进行讨论：　　　　　（1）当时，函数，的图象