《3.4.1反证法》导学案

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1、《3.4　反　证　法》导学案课程学习目标1.理解反证法的概念.2.了解反证法的思考过程与特点，掌握反证法证明问题的步骤.3.理解反证法与命题的否定之间的关系.课程导学建议重点:理解反证法的概念、反证法的特点，把握住什么类型的试题适合用反证法证明.难点:如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾.知识记忆与理解知识体系梳理创设情景生活中的反证法:妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然，有盘子打碎了，当时一片寂静.我说一定是妈妈打破的.为什么呢？知识导学问题1:如何证明上述结论呢？证明:假如　不

2、是妈妈打破的　，妈妈一定会大骂，当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子. 问题2:反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤假设命题结论的　反面　成立，经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫反证法. 用反证法证明问题的基本步骤:(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个　假设出发　，经过推理论证，得出　矛盾　； (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.问题3:反证法得出的矛盾的主要类型(1)与已知条件矛盾，(2)与已有公理、定理、定义矛盾，(3)自相矛盾.问题4:适合用反证

3、法证明的试题类型(1)直接证明困难，(2)需分成很多类进行讨论，(3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题，(4)结论为“唯一”类命题.知识链接反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如:是/不是；存在/不存在；有限/无限；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n-1)个；至多有一个/至少有两个.基础学习交流1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中，正确的是(　　).A.有一个解　　　　　　B.有

4、两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【答案】C2.用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是(　　).A.=　　　　　　　B.，可得≤，即=或<.【答案】D3.已知a、b、c成等差数列且公差d≠0，那么、、　　　成等差数列.(填“能”或者“不能”) 【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，假设、、成等差数列，则=+，∴(a+c)2=4ac，∴(a-c)2=0，∴a=c，从而d=0，与d≠0矛盾，∴、、不可能成等差数列.【答案】不能4.已知函数f(x)=ax+(a>1)，用反证法证

5、明:f(x)=0没有负实根.【解析】假设存在x0<0(x0≠-1)，满足f(x0)=0，则=-.又0<<1，所以0<-<1，即

6、2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1)，①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=an-1an+1，=bn-1bn+1，代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+)，即2=+，②当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以+>2，与②相矛盾.故数列{cn}不是等比数列.【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列{cn}是等比数列后，根据等比数列的性质找到矛盾.题目利用了等比中项找到{an}，{bn}的公比满足的条件2=+，结合不等式的知识可

7、知此式不成立，从而得到矛盾.探究二用反证法证明唯一性命题求证:方程5x=12的解是唯一的.【方法指导】证明唯一性，正面不容易入手，可考虑用反证法，从问题的反面入手.【解析】由对数的定义易得x1=log512是这个方程的一个解.假设这个方程的解不是唯一的，它还有解x=x2(x1≠x2)，则=12.因为=12，则=1，即=1.①由假设得x2-x1≠0，当x2-x1>0时，有>1；②当x2-x1<0时，有<1.③显然②③与①都矛盾，这说明假设不成立，所以原方程的解是唯一的.【小结】有关唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法.“唯一”就是“有且只有一个

8、”，其反面是“至少有两个”.探究三用反证法证明至多、至少等形式的命题实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证:a，b，c，d中至少有一个负数.