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时间:2019-05-03
《《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案5【课标要求】1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.【核心扫描】1.复数代数形式的乘法和除法的运算.(重点)2.共轭复数的概念及i的幂的周期性.(难点)自学导引1.复数的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3∈C,有(1)交换律:z1·z2=z2·z1.(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(
2、z2·z3).(3)乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.想一想:复数的乘法与多项式的乘法有何不同?提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部,虚部分别合并.3.共轭复数如果两个复数满足实部相等、虚部互为相反数时,称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用表示,即z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.4.复数的除法法则设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c+di≠0且c,d∈R),则==+i(c+di≠0)想一想:z·与
3、z
4、2和
5、
6、2有什么关系?提示 z·=
7、z
8、2=
9、
10、
11、2.名师点睛1.复数运算的技巧在复数运算中,除了灵活运用运算法则及各种运算律之外,常用的还有三大技巧.(1)i的周期性:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z),它们在遇到i的高次幂时非常好用.(2)1±i的变形:(1±i)2=±2i,(1+i)(1-i)=2,它们的应用也非常广泛,且很容易与i的周期性连用.(3)注意ω=-+i的一些变形:ω3=1,1+ω+ω2=0,ω2⇒等的应用.2.对共轭复数及性质的理解(1)共轭复数的注意事项①实数a的共轭复数仍是a本身,即z∈C,z=⇔z∈R,这是判断一个数是否是实数的一个准则.②
12、共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意它的几何特征:关于实轴对称;代数特征:虚部互为相反数.(2)共轭复数性质的巧用在解题过程中,若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简,可使复杂问题简单化,达到事半功倍的效果,一般地,共轭复数有如下性质:设z=a+bi,其共轭复数为=a-bi(a,b∈R),则①
13、z
14、=
15、
16、(因为
17、z
18、=
19、a+bi
20、=,
21、
22、=
23、a-bi
24、=)②z·=
25、z
26、2∈R(因为z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=
27、z
28、2)③z+=2a为实数;z-=2bi(b≠0)为纯虚数.④z为实数⇔z=.⑤z为纯虚数⇔z+=0且z
29、≠0.3.复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分化简,得出结论,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.复数的除法的一般做法是,由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),并把结果化简即可.也就是说===+i(c+di≠0).题型一 复数代数形式的乘除运算【例1】计算:(1)-22;(2)1+i+i2+…+i100;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(4)+-.[思路探索]本题主要考查复数的运算法则以及有
30、关性质.复数的运算顺序与实数的运算顺序相同,都是先进行乘方、开方,再进行乘、除,最后进行加、减.解 (1)原式=-=(2+i)-=2+i-i11=2+i-i3=2+i+i=2+2i.(2)原式===1.(3)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i(4)原式=[(1+i)2]3·+[(1-i)2]3·-=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-=8+8-16-16i=-16i(1)复数的乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注
31、意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).(2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速简捷出错少的效果.比如下列结果,要记住:①=-i;②=i;③=-i;④a+bi=i(b-ai).【变式1】计算下列各题:(1)(+i)5+4+7;(2)12+8.解 (1)(+i)5+4+7=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)+2+i7=16(-1+i)--i=-+(
32、16-1)i.(2)12+8=(-i)12·12+8=12+=4+(-8+8i)
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