《2.3数学归纳法》同步练习3

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1、《2.3数学归纳法》同步练习3一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)A．1＋a　B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a42．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为(　　)A．2(2k＋1)B．2k＋1C．D．3．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(

2、n0∈N*)时命题成立．则有(　　)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)(　　)A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－2二、填空题5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是___

3、_____．6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．三、解答题7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n

4、∈N*)．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．答案一、选择题1．解析：　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.答案：　C2．解析：　当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．答案：　A3．解析：　由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立

5、，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．答案：　C4．解析：　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．答案：　A二、填空题5．解析：　∵210＝1024>103，29＝512<93，∴填10.答案：　106．解析：　本题在由n

6、＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：　未用归纳假设三、解答题7．证明：　(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对所有n∈N＋都成立．8．证明：　(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，∴≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…

7、＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．解析：　将n＝1，2，3分别代入等式得方程组：解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.故存在一个等差数列an＝3n＋3，使得当n＝1，2，3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋

8、2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]所以当n＝k＋1时结论也成立．由①②