《2.3数学归纳法》同步练习2

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1、《2.3数学归纳法》同步练习2一、选择题1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2B．3C．5D．62．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)是(　　)A．1B.C．1＋＋D．非以上答案3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成(　　)A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n

2、∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　)A.B.＋C.＋D.＋＋5．利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞时，由k递推到k＋1时，左边应添加的因式是(　　)A.B.＋C.－D.二、填空题6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．8．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，

3、右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n∈N*，等式成立．上述证明错误的原因是________________．三、解答题9．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)试求：a2，a3，a4的值；(2)由此猜想数列{an}的通项公式an；(3)用数学归纳

4、法加以证明．答案一、选择题1．答案：C2．答案：C3．解析：因为当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B.答案：B4．解析：要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D5．答案：C二、填空题6．解析：观察不等式中分母的变化即可得结论．答案：＋＋…＋＋＞－7．解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋52×52k＋1＝34×34k＋1＋34×52k＋1＋52×52k＋1－34×52k＋1＝34×(34k＋1＋52k＋1)－52k＋1×(34－52)＝34×(34k＋1＋52k＋1)－52k＋1×14×4.答案：34×(34k＋1

5、＋52k＋1)－52k＋1×14×48．答案：没用上归纳假设三、解答题9．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)＝(－1)k·.即当n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n等式都成立．10．(1)试求：a2，a3，a4的值；解析：由a1＝1，an＋1＝，可得a2

6、，a3，a4分别是，，.(2)由此猜想数列{an}的通项公式an；解析：由此可以猜想数列{an}的通项公式an＝.(3)用数学归纳法加以证明．证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝.这说明当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可知，猜想对一切的n∈N*都成立．