新人教A版选修2-2《2.3数学归纳法》同步练习及答案

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1、选修2-22.3数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明1+£+#+・・・+吉5(用N*,/7>1)时，第一步应验证不等式()A.1+

2、<2B.1+H<2C.1+出<3D.1+扌+£+扌<3［答案］B［解析］V/?eN*,刀>1,・••刀取第一个自然数为2,左端分母最大的项为吉=右故选B.］〃+22.用数学归纳法证明1+&+/捫'=—(/?eN*,&H1),在验证刀=1时，左边1—自所得的项为()A.1B.1+a+aC.1+&D.1+$+/+/潛案］B［解析］因为当刀=1时,,所以此时式子左边=l+a+a2.故应选B.3.设£(刀)=齐*［+万士^(/?eN*),那么/'(/?

3、+1)—/(/7)等于()A丄B丄2/7+12/?+2C丄+丄d丄一丄2刀+12刀+22/?+12刀+2［答案］D［解析］/'(/?+1)=_一1一+一I一+…+丄+丄+］「(/?+!)+1(/?+1)+22/?2/?+12(/?+!)—++•••+-4-——_/?+1刀+22/7」2/7+12（/?+1）/7+111=2/7+厂2/?+2・1.某个命题与自然数刀有关，若（圧N*）时，该命题成立，那么可推得n=k+时该命题也成立.现在已知当刀=5时，该命题不成立，那么可推得（）A.当77=6时该命题不成立B.当77=6时该命题成立C.当77=4时该命题不成立D.当77=4时该

4、命题成立［答案］C［解析］原命题正确，则逆否命题正确.故应选C.2.用数学归纳法证明命题“当刀是正奇数时，x+y能被x+y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）A.假设,证明n=k+1时命题也成立B.假设n=k（k是正奇数），证明n=k+1时命题也成立C.假设n=k（k是正奇数），证明n=k+2命题也成立D.假设/?=2&+l（〃UN），证明n=k+1时命题也成立［答案］0［解析］・・5为正奇数，当n=k时，&下而第一个正奇数应为k+2,而非W+1.故应选C.3.凸边形有f5）条对角线，则凸”+1边形对角线的条数f5+l）为（）A./（Z?）+/7+1B.f（ri）+/7C

5、.f（n）+n~1D./（/?）+/?-2［答案］C［解析］增加一个顶点，就增加77+1-3条对角线，另外原來的一边也变成了对角线，故f（Z7+1）=A/?）+1+77+1-3=A/?）+/?-1.故应选C.4.用数学归纳法证明“对一切用心都有27—2”这一命题，证明过程屮应验证（）A.n=吋命题成立B./?=1,刀=2时命题成立A.77=3时命题成立B.77=1,77=2,77=3时命题成立［答案］D［解析］假设n=k时不等式成立，即2"＞护一2,当n=k+l时2*+1=2・2“〉2(#—2)由2(护一2)$(斤一1)2—40护一2斤一3200(斤+1)(斤一3心0今心3,

6、因此需要验证刀=1,2,3时命题成立.故应选D.1.已知f(/7)=(2/7+7)・3“+9,存在自然数％使得对任意/?eN都能使刃整除f(〃),则最大的仍的值为()A.30B.26C.36D.6［答案］C［解析］因为f(l)=36,A2)=108=3X36,A3)=360=10X36,所以f(l),f(2),厂(3)能被36整除，推测最大的/〃值为36.2.已知数列｛乩｝的前/?项和S=/?%(刀22)，而6?i=l,通过计算&2、自3、ai,猜想an=()2a•石nr、22［答案］B［解析］由$=晶”知S；+i=（〃+l）%+i/•Sn^~Sn=（刀+1）'弘+1—/an

7、••®+l=（刀+1）%+1—血nA^/+1=7+2^（必2）.当n=2时,$=4型，又$=句+型,•_旦121角=护2=了□丄由日1=1,日2=72猜想a，!=n{n+）故选B.1.对于不等式刀W刀+1(/址N+),某学生的证明过程如下：⑴当刀=1吋，屮弔wi+i,不等式成立.(2)假设/7=&(&WN+)时，不等式成立，即y/k~+k

8、=&到n=k+l的推理不正确［答案］D［解析］〃=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.二、填空题2.用数学归纳法证明“2卄仑/+/7+2(刀丘1<)”时，第一步的验证为.［答案］当刀=1时，左边=4,右边=4,左鼻右，不等式成立［解析］当刀=1时，左2右，不等式成立，・・・用眄・・・第一步的验证为〃=1的情形.111112312-己知数列仗？施？药T…，市T?通过计算得s一刁&=-,由此