数学：2.3数学归纳法》教案（新人教a版选修2-2）

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1、数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）第一课时2.3数学归纳法（一）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1.问题1：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.（过程：，，，由此得到：）2.问题2：，当n∈N时，是否都为质数？过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=

2、131，=151，… =1601．但是=1681=412是合数3.问题3：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1.教学数学归纳法概念：①给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.②讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？③提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基

3、：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.2.教学例题：①出示例1：.分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.②练习：求证：.③出示例2：设a＝++…+(n

4、∈N*)，求证：a<(n＋1).关键：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)小结：放缩法，对比目标发现放缩途径.变式：求证a>n(n＋1)3.小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习：1.练习：教材108练习1、2题2.作业：教材108B组1、2、3题.第二课时2.3数学归纳法（二）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严

5、格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1.练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？过程：试值，，…，→猜想→用数学归纳法证明.2.提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明.分析：如何进行猜想？（试值→猜想）→学生练习用数学归纳法证明→讨论：如何直接求此题的？（裂项相消法）小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）②练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结

6、论.解题要点：试值n=1,2,3，→猜想a、b、c→数学归纳法证明2.练习：①已知，考察；；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论.②（89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式（答案：a=3,b=11,c=10）1对一切自然数n都成立？并证明你的结论3.小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.三、巩固练习：1.平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.2.是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求

7、出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（答案：m=36）3.试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资.证明：（1）当时，由可知命题成立；（2）假设时，命题成立.则当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.小结：新的递推形式，即（1）验证成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立.根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.2.作业：亲情树幼儿园大班学期总结一．汉字写笑房平春书母言鸟住出猫里洞屋百空节世车牛羊小少巾牙尺毛卜又心风力手水广升足走方半巴业本平书自己乐西回片皮生里果几用鱼今正雨两