2.3数学归纳法(2)

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1、2.3数学归纳法(2)什么是数学归纳法？复习对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉练习巩固1.用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（）A．1B.C．D.C问题情境一3.某个命题当n=k(k∈N)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.

2、n=4时该命题成立C数学归纳法的应用：（1）证明等式或不等式（2）证明整除问题（3）证明几何问题（4）证明探索性问题例1、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1

3、)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①②可知，对一切nN,原等式均成立。（一）用数学归纳法证明等式或不等式证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2.用数学归纳法证明:例3：利用数学归纳法证明不等式(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：练习(1)用数学归纳法证:D(2)用数学归纳法证:(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：Ａ.１项Ｂ.项Ｄ

4、.项Ｃ.项Ｃ（二）用数学归纳法证明整除问题（三）数学归纳法证明几何问题.例：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个部分.1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+_________.练习（四）归纳—猜想—证明（求数列的通项公式）（五）用数学归纳法证明探究性问题点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.2.是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以

5、下用数学归纳法证明:(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例:比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2nn2当n=6时，2n=64,n2=36,2n>n2猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)证明：（1）当时,不等式显然成立用数学归纳法证

6、明：（2）假设时不等式成立,即那么,当时,有即当时不等式也成立.根据(1)(2),可知对任何,不等式都成立.