《2.3数学归纳法》同步练习7

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1、《2.3数学归纳法》同步练习7一、选择题1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)二、填空题3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出S

2、n的表达式是Sn＝________.三、解答题4．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．5．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．6．已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．7．设数列{an}的前n项和为Sn，方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，….(1)求a1，a2；(2)求{an}的通项公式．8．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜

3、想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：＋＋…＋<.10．(2010·天津)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*其中λ>0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．►重点班·选做题11．首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.(1)证明：若a

4、1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．12．(2010·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．走向高考1．(2011·江西卷)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为(　　)A．3125B．5625C．0625D．81252．(2011·山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f

5、(f3(x))＝，….根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.3．(2010·福建卷)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.4．(2010·浙江卷)在如下数表中，已

6、知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．5．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从

7、上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．6．(2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4，5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．证明：2≤xn