2.3《数学归纳法》同步检测（1）

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1、2.3《数学归纳法》同步检测（1）一、基础过关1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则下列说法正确的是________．[中国教@育出版~%#&网]①该命题对于n>2的自然数n都成立②该命题对于所有的正偶数都成立③该命题何时成立与k取值无关[www.*@^z~zstep.c#om]2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是____________________________________________________________

2、____________．3．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是________．4．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)共有________项，且f(2)＝________.[www@#.zzst%e~*p.com]5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为________．二、能力提升6．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为________．7．已知

3、f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.8．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________________________________________________________________________．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．[来%&~源^:中#教

4、网][来源:中@国教育~出%#&版网]9．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．10．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.[来源:www.shulihua.net][来@源:中*&国~%教育出版网]11．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．[来~^#源:中国教育出版网@&]三、探究与拓展[来*源&#@^:中教

5、网]12．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．答案1．②2.3．1＋＋4．n2－n＋1　＋＋5.6．2(2k＋1)7.＋＋－8．缺少步骤归纳奠基9．证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，当n＝k＋1时，(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)＝(1－)＝＝

6、，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．10．证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，[www.%zzst@*ep#.com&]那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)＝(－1)k·.即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成

7、立．11．(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net](2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝5×2k－2，[www.zz&^s#tep.c*o~m]当n＝k＋1时，由已知条件和假设有[来源:www.shulihua.net]ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋＝5×2k－1

8、.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝.12．解　假设存在a、b、c使上式对n∈N*均成立，则当n＝1,2,3时上