2.3 数学归纳法(1)

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1、凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计2.3数学归纳法（1）江苏省兴化市文正实验学校张海泉教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学过程：一、预习1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前

2、一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考　这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）__________________________________________________；（2）__________________________________________________．思考　你认为条件（2）的作用是什么？　思考　如果条件（1）不要，能不

3、能保证全部的骨牌都倒下？　2．我们知道对于数列{an}，已知a1＝1，且（n＝1，2，3…）通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n＝5开始一个个往下验证，当n4凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．思考？你认为证明

4、数学的通项公式是，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下．（1）当n＝　　时，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下．（2）若当n＝　时，猜想成立，即　　，则当n＝　　时，猜想也成立，即　　　　　．根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．证明：（1）　　　　　　　　　　　　　　　　．（2）假设　　　　　　　　　　　　　　，那

5、么，即n＝k＋1时猜想也成立．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．这样，对于猜想，由已知n＝1成立，就有n＝2成立；n＝2成立，就有n＝3也成立；n＝3成立，就有n＝4也成立……所以，对任意的正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是．3．小结．数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．（2）（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．4凤凰高中数学教学参考书配套教

6、学软件_教学设计只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为：若n＝k(k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．验证n＝n0时命题成立．命题对从n0从开始所有的正整数n都成立．归纳奠基归纳递推注　这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（

7、1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．二、课堂训练例1　证明等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d．例2　用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．例3　用数学归纳法证明　12＋22＋32＋…＋n2＝（n∈N*）．练习：用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn．三、巩固练习1．用数学归纳法证明：“”在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是．2．已知：，则等于．3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝．4凤凰高中数

8、学教学参考书配套教学软件_教学设计4．用数学归纳法证明：．四、小结重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．五、作业课本P94第1，2，3题．4