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《《2.3 数学归纳法》导学案1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第8课时 数学归纳法(1) 教学过程一、问题情境问题1 华罗庚教授曾经举过一个例子.从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们立即会出现一种猜想:“是不是这个袋子里的东西全部都是红玻璃球?”但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,这个猜想失败了.这时我们会出现另一个猜想:“是不是袋子里的东西,全部都是玻璃球?”但是,当有一次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了.那时我们会出现第三个猜想:“是不是袋子里的东西都是球?”这个猜想对不对,还必须继续加以检验……]猜想的结论是否正确,这是要经过实践检验和逻辑证明的,不能凭空臆想.问
2、题2 如果袋子里的东西是有限的,迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论.例如:这里有一袋球共12个,我们要判断这一袋球是白球还是黑球,请问:怎么办?方法一:把它倒出来看一看就可以了.特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.方法二:一个一个拿,拿一个看一个.比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球……第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.特点:有顺序,有过程.因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事.但是,当袋子里的东西是无限多个的时候,那怎么办呢?方法:一个一个拿,拿一个看一个.但是这样的方法存在问题,很可能出现错误(如前面讨论的问题).华罗庚先生是这样解决的.他说
3、,如果“当你这一次摸出红玻璃球的时候,下一次摸出的东西也一定是红玻璃球”,那么在这样的保证之下,就不必一个一个地摸了,只要第一次摸出的是红玻璃球,就可以立即作出正确的结论:“袋子里的全是红玻璃球”.解决有限问题和无限问题的方法是不同的.问题3 我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起),假定这排砖有无数块,我们怎样才能使所有的砖都倒下?解 只要做两件事就行了.第一,使第一块砖倒下;第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖.课件展示:多媒体课件(多米诺骨牌游戏),多米诺骨牌游戏要取得成功,必须靠两条:(1)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒;(2)第一张牌被推倒.用这
4、种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法.二、数学建构一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果:(1)当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据.概念理解(1)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证.(2)在用数学归纳法证明有关问题的关键是在第二步,即证明当n=k+1时
5、为什么成立.n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.(3)用数学归纳法可以证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.三、数学运用【例1】 (教材第89页例1)用数学归纳法证明:等差数列{an}中,若a1为首项,d为公差,则通项公式为an=a1+(n-1)d①.[2](见学生用书P47)[处理建议] 学生初识数学归纳法,以教师的讲解为主,分析数学归纳法的几个基本步骤后,让学生用等比数列的通项公式的证明来模仿.[规范板
6、书] 证明 (1)当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1+0·d=a1,等式①成立.(2)假设当n=k(k≥1)时等式①成立,即ak=a1+(k-1)d,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d.这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,等式①都成立.变式 用数学归纳法证明:等比数列{an}中,若a1为首项,q为公比,则通项公式为an=a1qn-1.①[规范板书] 证明 (1)当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1q1-1=a1,等式①成立.(2)假设当n=k(k≥1)时等式①成立,即ak=a1qk
7、-1,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak·q=a1q(k-1)+1=a1qk+1-1,这就是说,当n=k+1时等式①也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*等式①都成立.【例2】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.[3](见学生用书P47)[处理建议] 学生尝试用数学归纳法进行证明,教师辅助学生来完成,要注意讲解清楚下列两点:(1)按照数学归纳法格式去写
