《2.3 数学归纳法》导学案

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1、第9课时　数学归纳法(2)　教学过程一、问题情境数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题,以及探求数列的通项及前n项和等问题.二、数学运用【例1】　设n∈N*,f(n)=5n+2×3n-1+1.XK](1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;(2)你对f(n)的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想.[1](见学生用书P49)[处理建议]　提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止一个),让学生证明.通过(1)的结果,运用归纳推理,猜想f(n)的规律:8,32,144,680都

2、是偶数,都是4的倍数,都是8的倍数等等,这些结论都是合情的猜想,要学会从中找一个最为适当的猜想.[规范板书]　解　(1)当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1;当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4;[来]当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18;当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85.(2)猜想:当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.]①当n=1时,有f(1)=51+2×31-1+1=8能被8整除,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即f(k)能被8整除,那么当n=

3、k+1时,有f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).这里,5k和3k-1均为奇数,它们的和(5k+3k-1)必为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除.又由归纳假设,f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.根据(1)和(2)可知,命题对任何n∈N*都成立.[解题反思]　(1)数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一

4、条件,否则就可能出现错误;(2)对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值算出几个特殊值,通过观察找出规律,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立,这就是“归纳——猜想——证明”的方法,这是我们认识事物、研究事物的一种方法,它既是一种创造性的思维,又是一种严密的逻辑推理.变式　n3+5n(n∈N*)能被哪些自然数整除?[规范板书]　n3+5n(n∈N*)最大能被6整除.①当n=1时,n3+5n=6,显然成立.②当n=k时,假设n3+5n能被6整除,则n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=n3+3n2+8n+6=n3+5n+3n(n+1)+6,显然也能被6整

5、除.故n3+5n能被1,2,3,6整除.【例2】　在平面上画n条直线,且任何2条直线都相交,其中任何3条直线不共点.问:这n条直线将平面分成多少个部分?[2](见学生用书P50)[处理建议]　提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止1个),让学生证明.[规范板书]　解　记n条直线把平面分成rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况:(例2)从图中可以看出,r1=2=1+1,r2=4=r1+2=1+1+2,r3=7=r2+3=1+1+2+3,r4=11=r3+4=1+1+2+3+4,r5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5

6、.由此猜想rn=1+1+2+3+4+…+n.接下来用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1,2时,结论均成立;(2)假设当n=k时结论成立,即rk=1+1+2+3+4+…+k,当n=k+1时第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,所以rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有rn=1+1+2+3+4+…+n,即rn=1+错误！未找到引用源。.[题后反思]　一些几何问题规律的发现,需要我们从简到繁,一个一个地画出图形

7、,尝试探索,从而发现规律,证明结论.【例3】　已知Sn=1+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。,求证:错误！未找到引用源。>1+错误！未找到引用源。(n≥2,n∈N*).[3](见学生用书P50)[处理建议]　应用数学归纳法证明不等式与证明等式的步骤相同,关键是“递推步”的不等式的变形,先让学生证明练习,发现问题,再讨论解决、提炼方法.[规范板书]　证明　(1)当n=2时,错误！未找到引用源。=1+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>1+错误