《2.3 数学归纳法》教学案一

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1、《2.3数学归纳法》教学案(一)教学目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径。教学重点、难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题。难点：学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程：一、问题情景情境1：已知数列的

2、通项公式为。(1)求出其前四项，你能得到什么样的猜想？(2)你的猜想正确吗？情境2：对于数列｛｝，已知，。(1)求出数列前4项，你能得到什么猜想？(2)你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？二、学生活动一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件

3、，所有多米诺骨牌就都能倒下：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：你认为条件(2)的作用是什么？可以看出，条件(2)事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证(1)(2)成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：你认为证明数列的通过公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：多米诺骨牌游戏原理通项公式     的证明方法(1)第一块骨牌倒下。(1)

4、当n=1时a1=1，猜想成立(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。(2)若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即。根据(1)和 (2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据(1)和(2)，可知对任意的正整数n，猜想都成立。三、数学构建1、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n

5、0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示为：若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。验证n=n0时命题成立。归纳奠基归纳递推命题对从n0从开始所有的正整数n都成立。注意：(1)这两步步骤缺一不可。(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。四、数学

6、运用1、例题例1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.例2、用数学归纳法证明：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nÎN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=

7、k2+k+1(kÎN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1，因此，对于任何nÎN*等式都成立。例3、用数学归纳法证明：证明①当n=1时，左边=，右边=，此时，原等式成立。②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即那么n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，命题也成立。由①②知，对一切正整数n，原等式均正确。2、课堂练习1、已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边形的内

8、角和为(n-2)180°，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为___________32、用数学归纳法证明(a≠1)，在验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为，共有项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为[(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k