高中数学推理与证明2.3数学归纳法学案新人教a版

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1、§2.3　数学归纳法学习目标　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点　数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1　验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案　成立．思考2　能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案　不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理　(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成

2、立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　×　)2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　×　)3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　√　)类型一　用数学归纳法证明等式例1　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.考点

3、　用数学归纳法证明等式题点　利用数学归纳法证明等式证明　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等

4、式对任何n∈N*都成立．反思与感悟　用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．跟踪训练1　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．考点　用数学归纳法证明等式题点　利用数学归纳法证明等式证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…

5、＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．类型二　用数学归纳法证明不等式例2　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．考点　用数学归纳法证明不等式题点　利用数学归纳法证明不等式证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋.(*)方法一　(分析法)下面证(*)式≥，即＋＋－≥0，只需

6、证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，只需证9k＋5≥0，显然成立．所以当n＝k＋1时，不等式也成立．方法二　(放缩法)(*)式>＋＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．引申探究　把本例改为求证：＋＋＋…＋>(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝>，不等式成立．(

7、2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＝＋＋＋…＋＋＋－>＋＋－，∵＋－＝＝>0，∴＋＋＋…＋＋＋－>＋＋－>，∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立．反思与感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归

8、纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2　在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，an＋