人教A版高数学导学案教案 2.3数学归纳法

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1、2.3数学归纳法课前预习学案一、预习目标:理解数学归纳法原理及其本质,掌握它的基本步骤与方法.能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。二、预习内容:提出问题:问题1:前面学习归纳推理时,我们有一个问题没有彻底解决.即对于数列,已知,(n=1,2,3…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想出其通项公式,但却没有进一步的检验和证明.问题2:大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎样的规划?(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏,码放时保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下.只要推倒第

2、一块骨牌,就必然导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下,就必然导致第三块骨牌倒下…最后,不论有多少块骨牌都能全部倒下.讨论问题:问题1、问题2有什么共同的特征?其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件:结论对第一个值成立;结论对前一个值成立,则对紧接着的下一个值也成立.上面两个条件分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一个?你能举反例说明吗?在上述两个条件中,第一个条件是归纳递推的前提和基础,没有它,后面的递推将无从谈起;第二个步骤是核心和关键,是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带.如在前面的问题1中,如果不

3、是1,而是2,那么就不可能得出,因此第一步看似简单,但却是不可缺少的.而第二步显然更加不可缺少.这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出.解决问题:由上,证明一个与自然数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n取第一个值()时命题成立;(2)假设n=k(k≥,)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.由以上两个步骤,可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.7这种证明方法叫做数学归纳法,它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具.三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下

4、面的表格中疑惑点疑惑内容7课内探究学案一、学习目标(1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。(2)初步理解数学归纳法原理。(3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。(4)初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。二、学习过程:例1、证明等差数列通项公式:解析:(1)让学生理解数学归纳法的严密性和合理性;(2)掌握从到时等式左边的变化情况。证明:(1)当n=1时等式成立;(2)假设当n=k时等式成立,即,则=,即n=k+1时等式也成立由(1)、(2)可知,等差数列的通项公式对任何n∈都成立.点评:利用数学

5、归纳法证明和正整数相关的命题时,要注意以下三句话:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。变式训练1.在数列{}中,=1,(n∈),先计算,,的值,再推测通项的公式,最后证明你的结论.例2、用数学归纳法证明().解析:(1)进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性,从而从感性认识上升为理性认识;(2)掌握从到时等式左边的变化情况,合理的进行添项、拆项合并项等。证明:(1)时:左边,右边,左边=右边,等式成立。7  ∴当时等式也成立。 由(1)、(2)可知,对一切 ,原等式均成立点评:利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时,要注

6、意以下三句话:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。变式训练2:用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=.反思总结:1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明;2.数学归纳法作为一种证明方法,用于证明一些与正整数有关数学命题,它的基本思想是递推思想,它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;73.递推归纳时从到,必须用到归纳假设,并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中时左右两边的形式,第二步中时应增加的式子;第二步

7、中证明命题成立是全局的主体,主要注意两个“凑”:一是“凑”时的形式(这样才好利用归纳假设),二是“凑”目标式。当堂检测:1.观察式子:,,,,则可归纳出式子为(  )A.B.C.D.答案:C2.用数学归纳法证明:首项是,公比是q的等比数列的通项公式是,前n项和公式是课后练习与提高一、选择题1.用数学归纳法证明过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为()A.B.C.D.2.凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-23.用

8、数学归纳法证明不等式的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边()A.增加了一项7B.增加了一项C.增加了“”,又减少了“”D.增加了“”,又减少了“”二、填空题4.已知数列,计算得,由此可猜测___

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