2.3数学归纳法（1）.

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1、2.3数学归纳法(1)①观察：6＝3+3，8＝5+3，10＝3+7，12＝5+7，14＝3+11，16＝5+11，···78＝67+11，···我们能得出什么结论？任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和．②一个袋子里共有18个球，要判断这一袋球是红球,还是白球,请问怎么办？由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．完全归纳法：为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元素并归纳得出结论。不完全归纳法：为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几个或部分元素并归纳得出结论。哥德巴赫猜想不完全归纳法完全归纳法?对任何nN*,2n

2、+21.在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1=a1+0d,a2=a1+1d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,…,an=?归纳an=a1+(n1)d，2．比较2n与n2+2(nN*)的大小验证可知：n=1、2、3、4都有2nn2+2完全归纳法：优点：考查全面，结论正确。缺点：工作量大，有些对象无法全面考查。不完全归法：优点：考查对象少，得出结论快。缺点：观察片面化，结论不一定正确。多米诺骨牌效应1、第一张牌能倒下；2、假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k＋1张牌。对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它

3、们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立;证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法的两个步骤：(Ⅰ)证明当n＝n0(如n0＝1或2等)时，结论正确；(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用此假设证明n＝k＋1时结论也正确．注意:运用数学归纳法证题,以上两个步骤缺一不可。定义如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么对一切都成立．证明：（1）当n=1时，等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立

4、．用数学归纳法证明：例题讲解例1用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知的等式对任何都成立．（2）假设当时，等式成立，就是递推基础递推依据数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．递推基础递推依据小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数再数到30以内的数……，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了，为什么呢?因为会数1，2，3……有了数数的基础,会在前一个数的基础上加班1得

5、到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”例2.用数学归纳法证明证明：1、当n=1时,左=12=1，右=∴n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立思考？下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k(k∈N*)时命题成立，那么n=k+1时,左边即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.=右边,例

6、3.用数学归纳法证明：14+27+310+…+n(3n+1)=n(n+1)21)第一步应做什么？此时n0=，左=，2)假设n=k时命题成立，即____________________________1当n=2时，左＝，右＝。2(2＋1)2当n=k时，等式左边共有项，第(k1)项是。k14+27(k1)[3(k1)+1]14+27+310+…+k(3k+1)=k(k+1)214＝411、用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是；当n＝2时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+52、用数学归纳法证明在验

7、证n＝1成立时，左边所得项为()A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C练习证明：①当n=1时，左边＝右边＝∴n=1时等式成立。②假设n=k时，命题成立，即那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；②数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；③数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种