2.3数学归纳法同步练习含答案详解.doc

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1、2.3数学归纳法一、选择题（每小题5分，共20分）1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对2．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝(　　)A．ak＋B．ak＋－C．ak＋D．ak＋－3.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则

2、f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋24.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确二、填空题(每小题5分，

3、共10分)5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．三、解答题(共70分)7.（15分）对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．8.（20分）已知正项数列{an}和{bn}中，a1＝a

4、(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，an＝an－1bn，bn＝.(1)证明：对任意n∈N*，有an＋bn＝1；(2)求数列{an}的通项公式．9．(20分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．10.（15分）已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*

5、，点Pn都在(1)中的直线l上．2.3数学归纳法答题纸得分：一、选择题题号1234答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.2.3数学归纳法答案一、选择题1.B解析：本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．2.D解析：a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.3.C解析：当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与

6、平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．4.B解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1.二、填空题5.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.　6.2(2k＋1)解析：当n＝k(k∈N*)时，左式

7、为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．三、计算题7.证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1

8、)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．8．解：(1)证明：用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1＋b1＝a＋(1－a)＝1，命题成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＋bk＝1，则当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝akbk