资源描述：
《可降阶的高阶微分方程的求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、()n一、yf=()x型特点：右端仅含有自变量x.(1n−)解法：把y看作一个新的未知函数.(1n−)则yf=+()xdxC.∫1同理可得(2n−)pf=+[(x)dxC]dx+C.∫∫12依此法连续进行，接连积分n次，便得方程的含有n个任意常数的通解.2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）22x例1求方程ye'''=−cosx的通解.解对所给方程接连积分三次，得12xy''=ex−+sinC,212xy'c=+exos+Cx+C,24122xy=+esinxC+x+CxC+1238122x原方程通解为ye=+sinx+C12x+Cx+C3.8P323T1(1)2010-
2、3-10可降阶的高阶微分方程（24）3(n)(k)(n−1)二、y=f(x,y,",y)型(k−1)特点：不显含未知函数y及y′,",y.(k)解法：令y=p(x)(k+1)(n)(n−k)则y=p′,y=p.代入原方程,得p(x)的(n-k)阶方程(n−k)(n−k−1)求得p(x),p=f(x,p(x),",p(x)).(k)将y=p(x)连续积分k次,可得通解.2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）4(5)(4)例1求方程xy−y=0的通解.(4)(5)解设y=p(x),y=p′(x)代入原方程xp′−p=0,（p≠0）p=Cx(4),解线性方程,得1即y=C1x1
3、2"",两端积分,得y′′′=Cx+C,122C15C23C32y=x+x+x+Cx+C,4512062532原方程通解为y=Dx+Dx+Dx+Dx+D12345P323T1(5)2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）5例2设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂.试问:在平衡状态，绳索是怎样的曲线？解如图建立坐标系.设yT绳索曲线方程为y=y(x).θM考虑绳索曲线最低点A和HAρgs其上任意点M(x,y)之间的Ox弧段AM,其长记为s.2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）6假设绳索的线密度为ρ，则弧AM所受的重力为ρgs.由于绳索柔软，故在
4、每一点的张力平行于该点处的切线，方向向外.设弧AM在A点处的张力为H,在M点处的张力为T,且切线MT的倾角为θ.由于作用于弧段AM的外力相互平衡，故Tsinθ=ρgsTcosθ=H.2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）7两式相除，并注意到:x2y′=tanθ,s=∫1+y′dx.0从而可得微积分方程：1xH2y′=∫1+y′dx,其中a=.a0ρg进一步，两边对x求导，得微分方程：12y′′=1+y′.a2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）8设
5、OA
6、=a,则初始条件为:y
7、=a,y′
8、=0.x=0x=0解微分方程,得通解为：xxa−ye=+()aae+C;2
9、2代初始条件，得特解为：xxa−ye=+()aae.22010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）9(n)(n−1)三、y=f(y,y′,y′′,",y)型特点：右端不显含自变量x.dpdydp解法：设y′=p(y)则y′′=⋅=p,dydxdy22dpdp2y′′′=p+p(),"",2dydy代入原方程得到新函数p(y)的(n−1)阶方程，dy求得其解为=p(y)=ϕ(y,C1,",Cn−1),dxdy原方程通解为∫=x+Cn.ϕ(y,C,",C)1n−12010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）102例3求方程yy′′−y′=0的通解.dp解设y′=p(y),则y′′
10、=p,dydp2dp代入原方程得y⋅p−p=0,即p(y⋅−p)=0,dydydpdy由y⋅−p=0，可得p=C1y,∴=C1y,dydxC1x原方程通解为y=Ce.2(注:p=0,即y'=0的解y=C含于其中).2010-3-10P323T1(9)可降阶的高阶微分方程（24）11例4设一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落到地面时的速度和所需要的时间（不计空气阻力）.y解如图建立坐标系,其中O为地球中心.l设地球半径为R,物体的质量为m,物体开始下落时R与地球中心的距离为l(>R),O2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）12dy设物体的位置函
11、数y=y(t)，速度函数v(t)=.dt根据万有引力定律，得微分方程：22dykmMdykMm=−,即=−.2222dtydtyM为地球的质量，k为引力常数.初始条件为y
12、=l,y′
13、=0.t=0t=02dydydv解方程：由v=,得=v,代入方程得2dtdtdy2010-3-10可降阶的高阶微分方程（24）132dvgRv=−,由此求解可得速度函数2dyy211v=−2gR(−),yl符号表示物体运动方向与y轴的正向相反.当物体到达地面,即y=R时,物体的速度为2gR(l−R)
