可降阶的高阶微分方程(VIII)

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1、可降阶高阶微分方程8.3.1一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程例1.解:例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F均匀地减直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0时设力F仅是时间t的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为型的微分方程（方程不显含y)设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、例3.求解解:代入方

2、程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为三、型的微分方程(方程不显含x)令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例4.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例5.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.速度大小为2v,方向

3、指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对x求导,得又由于设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B从(–1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①代入①式得所求微分方程:其初始条件为①即