复矩阵空间上保持k幂等的算子

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1、中文摘要设C是复数域，n是任意的正整数，记^磊和&分别是C上的7"1Xn全矩阵空间和n×／1,对称矩阵空间．设正整数k≥2，K∈{螈，&)，X∈K，如果X七=X，则称X为K中的七一幂等矩阵，本文主要刻画了K到％，上保持七一幂等的映射．所谓保持七一幂等，即是满足，对于任意的A，B∈K，以及任意的入∈c，A一,kB是K中的k一幂等阵，意味着≯(A)一Ⅻ(B)是％中的七一幂等阵．在第—章，我们对保持问题做了简要介绍，给出了乘法，加法，线性以及A一入B型这四种保持问题的定义，并且基于不变量的差别而将保持问题分为四类，即保持函数，性质，子集和变换．我

2、们在第二章的主要结论是，当K=^死时，如果≯：K_螈是保持七一幂等的映射，贝!l存在^靠中的可逆阵P和满足沙=c的复数c，使得对于任意的X∈K，或者有妒(x)=cPx尸-1成立，或者有妒(x)=cPX2P_1成立，其中Ⅺ是X的转置．在第三章，我们证明了，当％=岛，佗=2时，如果≯：K一螈是保持七一幂等的映射，则存在％中的可逆阵P和满足扩=c的复数c，使得对于任意的X∈K，有≯(X)=cPXP-1成立．关键词：保持；k一幂等；对称矩阵；特征值黑龙江大学硕士学位论文英文摘要LetCbethecomplexfield，礼beanarbitrary

3、positiveinteger，wedenoteby％and&thespaceconsistingofalln×礼matricesoverCandthespaceconsistingofalln×竹symmetrymatricesoverC．Letpositiveintegerk≥2，K∈{^靠，瓯)，xiscalledak-potentmatrixifX2=X，themainresultofthepaperistocharacterizethek-potencepreservingmap砂：K_坛，i．e．，A—ABisak-potent

4、matrixinK，implies妒(A)一入咖(B)isak-potentmatrixin』‰，whereA，B∈K，入∈c．InChapter1，wepresentedabriefintroductiontothepreservingproblems，definedmultiplicative，additive，linearand“A—AB”preservingproblems，dividedpreservingproblemsintofourpatternsasfunctions，properties，subsetsandtranwf

5、ormationsaccordingtothepropertyofinvariants．ThemainresultofChapter2is，if多：螈一螈isak-potencepreservingmap，thenthereexitaninvertiblematrixP∈％andC∈Cwith沙=c，suchthat≯(x)=cPxP-1or≯(x)=cPX‘P-1foranyX∈^厶，whereX。isthetransposeofX．InChapter3，weprovedthatif竹=2，≯：&_％isak-potencepreserv

6、ingmap，thenthereexitaninvertiblematrixP∈地andc∈Cwith矿=C，suchthat≯(x)=cPxP-1foranyX∈晶．Keywords：preserver；k-potence；symmetrymatrix；characteristicvalue—n一黑龙江大学硕士学位论文符号说明设c是复数域，c=C＼{o}，并且设^厶是c上所有n×礼矩阵构成的空间，其中n是任意的正整数．p×1表示C上所有n×l矩阵构成的空间．我们用&表示朋k中所有对称矩阵构成的子集，用瓦表示^磊中所有上三角矩阵构成的子集．

7、k表示^磊中所有七一幂等矩阵构成的集合(如果A七=A，则称A∈^厶为七一幂等)．记yrn=KnFn，K∈{％，&，R)．当K=&时，SFn=Vrn．设GLn是^靠中所有可逆阵构成的一般线性群．A表示所有满足沙-1=1的复数c的集合，而△=hu{o】．．记号<佗>表示{1，2⋯．，竹)．设％是({，歹)为1，其他位置为0的矩阵，厶为螈中的单位阵．对于任意的A∈％，∥表示A的转置．咒0zj表示五∈坛和置∈Mj的直和．圣饨表示满足如下条件的所有映射≯：K—M。的集合，A一入B∈VR意味着妒(A)一Ⅻ(B)∈Fn，其中A。B∈K。入∈C．独创性声明

8、本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为