幂等矩阵和立方幂等矩阵线性组合的t幂等性

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1、哈尔滨T稃人学硕十学侮论文摘要幂等矩阵与立方幂等矩阵线性组合的立方幂等性、幂等性在统计中有重要意义．本文的目的是研究服从Z2．分布的二次型与服从两个相互独立的Z2．变元差分的二次型，其线性组合服从Z!-分布和服从两个相互独立的z2．变元差分的问题．2000年，J．K．Baksalary和O．M．Baksalary在线性代数及应用杂志上发表了两个幂等矩阵线性组合的幂等性．文章中研究了两个可交换的幂等矩阵线性组合是幂等矩阵的充分必要条件．一些学者仅在有交换性的条件下末研究S幂等矩阵线性组合的t幂等性问题，对于交换性去掉的情况仍是～个丌放性问题．设CIC2∈c／{o

2、}，A．，A2∈C””为非零的复矩阵，A为A1，A2的线性组合，即A=qA。+C2A，．在本文第三、四、五章分别讨论了幂等矩阵与立方幂等矩阵线性组合是立方幂等、幂等和对合矩阵的充分必要条件，本文给出一些新的结果如下：1．设4，A2∈C“”是非零矩阵，满足Ai≠±4，且A12=A．，A23=A2，AIA2=AzA，．给出A=CIAI+c2A2为立方幂等矩阵的充分必要条件，其中q，C2∈c／{o}．2．设A1，A2∈C“”是非零矩阵，满足Al≠±彳2，且A13=Al，A22=A2，给出A=qA．+c：A：为幂等矩阵的充分必要条件，其中q，C2∈c／{o)．3．设A

3、l，A2∈C“”是非零矩阵，满足AI≠±42，且A13=AI，A22=A2．给出A=qA，+c：A2为对合矩阵的充分必要条件，其中q，c2∈c／{o}．关键词：幂等矩阵：立方幂等矩阵；对合矩阵；z2一分布；线性组合哈尔演f：稃人学硕十学位论文ABSTRACTltisimportanttoconsiderthet-potencyoflinearcombinationofidempotentandtripotentmatricesinmatrixtheoryandstatistics．Thepurposeofthispaperistoshowthatalinear

4、combinationoftwoquadraticformsinnormalvariables，onedistributedasanChi-squarevariableandanotherdistributedasadifferenceoftwoindependentChi-·squarevariablescansatisfyChi--squareanddifferenceoftwoindependentChi—squarevariables．In2000．J．K．BaksalaryandO．M．Baksalarypublishedidempotencyofl

5、inearcombinationoftwoidempotentmatricesinLinearAlgbraanditsApplications．Thepaperstudiedthenecessaryandsufficientconditionsunderwhichalinearcombinationoftwocommutingidempotentmatricesisidempotentmatrix．Somescholarsstudiedthet—potencyoflinear{combinationsofSopotentmatricesunderanassum

6、ptionofcommuting，anditisstillanopenproblemwithouttheassumption．LetAI．A2∈C””benonzerocomplexmatrices，andCIC2∈C／{o)．SupposeAisalinearcombinationofAI，A2i．e．A=clAl+c2A2．Thepaperstudiesthenecessaryandsufficientconditionsunderwhichthelinearcombinationofidempotentandtripotentmatricesisatri

7、potentmatrix，anidempotentmatrixandaninvolutivematrixinChapter3，4and5．7fhemainresultsarelistedasfollows：(1)LetAl，A2∈C“”benonzeromatrices，andsatisfytheconditionsAl≠±彳2，A12=Aj，A23=A2，andAIA2=A2A1．ThenthenecessaryandsufficientconditionsunderwhichA=C1Al+c2A2isatripotentmatrixaregiven．Whe

8、reCIC2∈C／{o)．(2)Let