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1、.论幂等矩阵线性组合的幂等性摘要：P1，P2和P3是三个任意可交换的非零幂等矩阵，c1,c2和c3是三个非零纯量，在线性组合方式P=c1P1+c2P2或P=c1P1+c2P2+c3P3中，这种线性组合的矩阵已经作为一种重要的矩阵被考虑。本文还提出了关于线性组合2×2幂等矩阵、3×3幂等矩阵幂等性的两个有趣的结果。文中还提到了关于等幂性问题的统计学分析。2003ElsevierInc.版权所有。关键词:对角化；幂等矩阵；二次形式；χ2分布1.前言假设一个线性组合形式P=c1P1+c2P2,(1)在这个线性组合形式中，P1、P2是n×n型非零幂
2、等矩阵，c1、c2是纯量.本文中将阐述其中的一些甚至所有以线性组合形式(1)为幂等矩阵的情况.例如，[1–6,8].现在假设另一个线性组合形式P=c1P1+c2P2+c3P3,(2)在这个线性组合形式中,P1、P2和P3是三个任意可交换的n×n型非零幂等矩阵，c1、c2、c3是纯量。本文有两个写作目的：第一，为Baksalary的一部分新定理提供新的不同的证明。Baksalary在文献【6】中讲述了关于线性组合形式(1)的幂等性.第二，彻底解决以线性形式(2)为幂等矩阵情况的表征问题.并且得出结论：(ⅰ)2×2任意可交换的非零幂等矩阵P1、
3、P2、P3不满足PiPj=0,i≠-..j,i,j=1,2,3或P1P2=P1或P1P2=P2(ⅱ)如果P1、P2、P3是3×3任意可交换的非零幂等矩阵，那么，如果PiPj=0则P=I;如果PiPj=Pi或者PiPj=Pj,i≠j,i,j=1,2,3则P1=I或P2=I或P3=I.不仅从代数学角度，而且从根、项量、多项式在统计学中所占的地位，证明都将引起人们很大的兴趣.有幂等矩阵的二次形式在统计学理论中应用广泛。例如：注释中提到的一些问题认为统计学的解释是基于这样的一个事实——如果A是一个n×n型实对称矩阵，x是n×1实项量，有多元正态分布
4、N(0,I),其中I代表单位矩阵，0代表零矩阵，那么二次形式xAx作为一个卡方变量分布的充分必要条件是A2=A见：参考文献[3,定理5.1.1]或[4,引理9.1.2]和[9,2.4章].1.初步措施在复数ψ领域，我们用Mn表示所有n×n矩阵集.如果没有非奇异矩阵S∈Mn,那么矩阵B∈Mn，类似矩阵A∈Mn。因此B=S-1AS如果矩阵A∈Mn类似对角矩阵，那么A就被对角化了。如果有一个相似性矩阵S∈Mn，那么两个对角化矩阵A,B∈Mn。同时被对角化，即S-1AS和S-1BS是对角线。全文中，c1、c2、c3都是ψ中的非零因素P1,P2,P3
5、∈Ƒ∈Mn，P1,P2,P3∈Ƒ表示n×n非零幂等矩阵判别矩阵，例如，一个有限(或无限)矩阵组中，每对在集改判下乘法。现在我们给出以下附加结果，并解释这种情况对P1、P2∈Ƒ也适用。-..引理2.1.让P1、P2、P3∈Ƒ,P1≠P2，i≠j,且P∈Mn作为线性组合形式P=c1P1+c2P2+c3P3,非零向量c1、c2、c3∈ψ那么P可以对角化.证明.首先，幂等矩阵是可对角化的。因为P1、P2、P3有幂等性且相互可交换，它们可以同时对角化(见，[7,p.52]).所以有单相似性矩阵S满足Λ=SP1S-1,M=SP2S-1,T=SP3S-1
6、都是对角化矩阵。另外对角元素是P1、P2、P3的特征值，于是我们可以得到P1=SΛS-1,P2=SMS-1,P3=STS-1(3)所以P=S[c1Λ+c2M+c3T]S-1这就是完整的证明.1.主要结论正如我们提到的，本文主要结论是关于幂等矩阵线性组合的幂等性.首先我们讨论一个结论，这个结论能体现我们解决问题的方法，还要解决文献[6]中的一部分定理。接着，我们列出一个重要结论，是关于线性组合三非零，相互可交换幂等矩阵的幂等性的结论.定理3.1.让P1、P2∈Ƒ,P1≠P2且P作为线性组合形式P=c1P1+c2P2,(4)非零纯量c1、c2∈
7、ψ那么只有在三种情况下P是幂等矩阵：(a)c1=1,c2=1,P1P2=0,(b)c1=1,c2=-1,P1P2=P2,(c)c1=-1,c2=1,P1P2=P1:证明.因为P1、P2∈Ƒ，它们可以同时对角化。假设S是矩阵，同时对角化P1,P2，那么可以将P1，P2写成(3)的形式。因此得到,P=S∑S-1-..其中∑=c1Λ+c2M。所以直接数据表明形式(4)中的P是具有幂等性，当且仅当(c1Λi+c2μi)(c1Λi+c2μi-1)=0，i=1,2，…，n，⑸中Λi和μi分别是Λ和M的对角元素。另外P1,P2仅有0和I两个特征值，因为P
8、1，P2具有幂等性。根据不同的假设，有不同的结论。情况(a)：从等式(3)可以得到，如果P1P2=0，那么(Λi，μi)最少可以是(0,0)，(1,0)和(0,1)因为至少可以给
