幂等矩阵的构造

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1、万方数据第29卷2009年第2期3月高师理科学刊J叫mal0fSeierlce《1I船che—Couege加dUniversityV01．29N02Mar．。2009文章编号：1007—983l(2009)02枷21埘幂等矩阵的构造吴险峰(齐齐哈尔大学理学院．黑龙江齐齐哈尔16l006)摘要：利用相似矩阵、广义逆矩阵、幂等变换的矩阵、正交投影矩阵、矩阵的谱分解、矩阵的运算等方面的理论给出了构造幂等矩阵的几种方法．关键词：幂等矩阵；幂等变换；投影矩阵；广义逆矩阵中图分类号：0152．12文献标识码：A满足A2=

2、A的n阶矩阵A叫做幂等矩阵¨1．显然九阶零矩阵与单位矩阵都是幂等矩阵．幂等矩阵在可对角化矩阵及正规矩阵的分解中有着特别的意义．幂等矩阵有着很好的性质可以利用，例如，非单位的幂等矩阵都不可逆、幂等矩阵可对角化、特征根为1或O、迹等于秩等，因此构造幂等矩阵就显得尤为重要．本文研究非零、非单位的幂等矩阵的构造方法．1利用相似法构造定理1设n阶矩阵A与矩阵，=(乞3)相似，则A为幂等矩阵．证明由A相似，，设A=P-1口，则A2=(P_1JP)2=P-1_，2P=P．1胛=A，故A为幂等矩阵．证毕．推论与幂等矩阵相似的

3、矩阵仍为幂等矩阵．r23、r1oo、rl一4—3、r1oo、r23、例1设P=ll一1oI，，=lolol，贝4A=P．1J：P=Il一5—30olol1一loI=L—l2l／ILoooJL一16’4人ooo人一l2lJ(萼三三]，曰=一胛=(j。孑}](手三三](三寻3]=[彳苫虿]都是幂等矩2利用广义逆矩阵构造定义1啪设矩阵A∈肘～(C)，若矩阵x∈肘。。。(C)满足如下4个Pe肿se方程：A泓=A，咒戗=z，(Ax)‘=AX，(碰)’=泓，则称x为A的Pe啪∞广义逆，记为A+；把满足A烈=A的矩阵X叫A

4、的(1}—广义逆，记为A一．由定义l可知，(AA一)2=(AA一)(AA一)=(AA—A)A一=AA一，(A—A)2=(A—A)(A—A)=A一(AA—A)=A—A，于是AA。，A—A都是幂等矩阵．由于矩阵A的Pe舯se广义逆一定是A的Il卜一广义逆，因而AA+，A+A也都是幂等矩阵．收稿日期：20∞-o弦12作者简介：吴险峰(19r70．)，女．黑龙江齐齐哈尔人，副教授．硬士．从事李代敷研究．万方数据挖高师理科学刊第29卷定理2设A∈肼～(，)'舳k(A)=r，A的满秩分解为A=衄，其中JL是胁×，的列满秩

5、矩阵，R是，×^的行满秩矩阵，则以rD_1r与足‘(艘’)-1足都是幂喜瓢阵．证明因为A的满秩分解为A=衄，所以A+=R‘(艘’)．1(rD-1r，于是AA+=(衄)露’(艘。)一·(rL)一1r=以rD一1r，A+A=足‘(艘’)．1(rL)_1r(饮)=足‘(艘。)-1足，而AA+，A+A都是幂等矩阵，因此L(rD_1r与足’(艘‘)．1足都是幂等矩阵．证毕．roo2、ro2、，，8—2421讹肚㈦护一A_脒瞄占舌o)一明。1肚啦÷孙lrllo、R‘(艘’)-1足={lloI都是幂等矩阵．zIoo2J3利

6、用幂等变换的矩阵构造引理1设y是域F上n维线性空间，仃∈EndⅣ)，仃是幂等变换的充分必要条件是：仃关于y的任一基的矩阵都是幂等矩阵．利用线性变换的矩阵和幂等矩阵、幂等变换的定义即可证明，证明略去．引理∥设y是域F上线性空间，盯∈EndⅣ)，仃是幂等变换的充分必要条件是：仃是投影变换．由引理l及引理2可知，对于n(>0)维线性空间y，先任作y的投影变换仃，然后再取y的任意—个基，那么仃关于此基的矩阵就是幂等矩阵．这样，幂等矩阵的构造问题就转化为投影变换的构造问题，而投影变换是与直和紧密相关的．例3由于F4=L

7、(8l。￡3)o“￡2，￡4)，对于任意吐=(口l，口2。Ⅱ3，口4)∈F4，规定盯似)=(nl，0，口3，0)，易知盯是F4的平行于L(￡2，s4)在L(￡1，岛)上的投影，因此仃是F4的幂等变换．取F4的基口l=(1，一2，3，一4)，口2=(0'l'一l，1)，吐3=(1，3，0，1)，a4=(0，一7，3，1)，则仃关于此基的矩阵l21543214是幂等矩阵．4利用正交投影矩阵构造定义吵1设c“是n元列空间，且c“=LoM，把满足条件A毒={孑喜主缶的矩阵A∈M．(c)叫做c“沿子空间M到L上的投影矩

8、阵，记为PL肼．当肘=p时，A叫C“到L上的正交投影矩阵，记为吃．定理3投影矩阵是幂等矩阵．证明设矩阵PL肼∈肘．(C)是C4沿子空间肘到L上的投影矩阵，即C”=LOM，且气肼孝={彳善主石．对于任意孝=a+∥∈c”，理∈厶∥∈M，则PL．jIf孝=吒，JIf似+户)=PL，M扛+吒．肼∥=口+o=厦，气埘2孝=吃．肼(气M孝)=气肼口=a，于是(‰2一吒．肘)孝=o，故PL朋2=吮，脚，气M是幂等