幂等矩阵的几个注记

《幂等矩阵的几个注记》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第31卷第1期高师理科学刊V01．3lNo．12011年1月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityJan．2011文章编号：1007—9831(2011)0l一0036—04幂等矩阵的几个注记樊正恩(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作747000)摘要：幂等矩阵是一类常见的矩阵类型，在高等代数中占有非常重要的地位，给出了构造非平凡幂等矩阵的方法，并得到了幂等矩阵的一些重要性质．关键词：幂等矩阵；幂等矩阵的构造；可逆矩阵中图分类号：O152．12文献标识码：Adoi：10．3969／j．is

2、sn．1007—9831．2011．01．O1lSomenotesonidempotentmatrixFANZheng—-en(DepartmentofMad~ematics，GansuNormalUniversity

3、jIionalities，Hezuo747000，China)Abstract：Idempotentmatrixisacommontypeinhigheralgebraandplaysaveryimportantrole，gaveastructuralmethodofnon-trivialidempotentmatrixvi

4、amatrixoperationsandobtainedsomeimportantpropertiesofidempotentmatrix．Keywords~idempotentmatrix；structureofidempotentmatrix；invertiblematrix1引言及预备知识幂等矩阵是一类常见的矩阵类型，研究幂等矩阵的性质可以充实矩阵理论．本文用M(F)表示数域F上的n阶方阵的全体，用J表示单位矩阵，用A表示矩阵A的转置，用rank(A)表示矩阵A的秩．定义1IlJ若方阵A∈M(F)满足A=A，称A为幂等矩阵．易见单位矩

5、阵，，零矩阵D，(。，，。B⋯r,n-r，)均为幂等矩阵．称单位矩阵J，零矩阵D，(。．，。B⋯r,．-r，)为平凡幂等矩阵．若A为幂等矩阵，根据矩阵的运算不难验证A，J—A，J～A均为幂等矩阵，并且幂等矩阵的特征值是0或1．定义2怛若方阵A=，则称A为对合矩阵．引理若幂等矩阵A可逆，则A为单位矩阵．本文给出了构造非平凡幂等矩阵的方法，并得到了幂等矩阵的一些重要性质．2主要结果及证明收稿日期：2010—08—10作者简介：樊正恩(1969一)，男，甘肃积石山人，讲师，硕士，从事环与代数研究．E-maihgshz一320@163_c0m第】期

6、樊正恩：幂等矩阵的几个注记37A矩，，。．．．．。．．．车．定理1设非零列向量=(以。，!，⋯，以)一，则n阶矩阵A=I一以为幂等矩阵的充要条件是比T=+；+⋯+以：=1．证明必要性．因为A：A，所以(J一6c1’)(一)=J一戊，即，一2aa+a(aa)a=J一以抗，从而投(1一a)a：0，因为t1．为非零歹U向量，所以以，≠0，因止匕玖仅=以+口；+⋯+：=1．充分性．因为班d：以+；+⋯+aT’,=1，所以A!=I一2aa+a(a。ra)a=J一仅仅=A．证毕．推论1令A：，一班，其中：以=(1，2，⋯，以)为非零列向量．若+；+⋯+

7、：=l，则，z阶方阵A不可逆．证明设A可逆，则由引理可知，A=j．当a+；+⋯+=1时，由定理1可知，A为幂等矩阵，即A。：A，但A：I一捩，所以1=J一，得仅=0，与a+日；+⋯+a2=1矛盾，所以A为不可逆矩阵．证毕．注1若非零列向量a=(口1，a2，⋯，a)，则，z阶矩阵A=I一为对称矩阵，此时若以+，2+⋯+：1，则A即为幂等矩阵又为对称矩阵，此时A具有很好的性质．例如：设D为所有形如A：I一投的矩阵构成的集合，显然D构成一个交换环．此时若+a；+一·+以：=l，则对任意的A，B∈D有(A+)=A+B+【c+c+⋯+c：=A++2一

8、l．注2利用定理1可以构造非平凡幂等矩阵，例如：选择单位圆上点的坐标为向量=fl，可以构造／／、，，、二阶幂等矩阵A：f＼xyxy，1．选择单位球面上点的坐标为向量：l“YI，可以构造三阶幂等矩阵Y／『Z／xyXZv)'yzI1．由此可以看出，任意阶非平凡幂等矩阵是存在的，并且可以构造出任意阶非平凡幂等yzz。』定理2若A和是同阶幂等矩阵，则A+为幂等矩阵的充要条件是AB+BA=0．证明因为(A+)=A+AB+BA+B=A+AB+BA+，A+为幂等矩阵的充要条件是AB+BA=0．证毕．根据前面的讨论，若A为幂等矩阵，则—A也为幂等矩阵，A+

9、(A—I)=2A—I．因为[A+(A—J)】=(2A—)=4A。一4A+I=I，所以推论2～4．推论2若A为幂等矩阵，则2A—I为对合矩阵．推论3若A为幂等矩阵，则2A—I可逆．